1.0 Die Parabel mit dem Scheitelpunkt hat eine Gleichung der Form . Die Gerade hat die Gleichung . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel gilt:
. Zeichnen Sie sodann die Parabel und die Gerade für in ein Koordinatensystem ein. Für die Zeichnung:
Längeneinheit
1.2 Punkte auf der Geraden und Punkte
auf der Parabel haben dieselbe Abszisse und sind zusammen mit Punkten und Eckpunkte von Trapezen . Es gilt: . Zeichnen Sie die Trapeze für und für in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
1.3 Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Belegungen von es Trapeze gibt.
1.4 Berechnen Sie den Flächeninhalt der Trapeze in Abhängigkeit von . Bestimmen Sie sodann den maximalen Flächeninhalt der Trapeze und geben Sie den zugehörigen Wert für an.
1.5 Der Punkt des Trapezes liegt auf der y-Achse. Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten des Punktes .
1.6 Die kongruenten Trapeze und sind gleichschenklig. Zeigen Sie, dass die Strecken und jeweils 3 LE lang sind. Berechnen Sie sodann das Maß der Winkel bzw. .
Lösung anzeigen
Teilaufgabe B 1.1
Stelle mit Hilfe des Scheitelpunktes S(5/-4,5) die Scheitelpunktform auf.
Normalform der Gleichung: . In diesem Fall:
Scheitelpunktform allgemein:
In diesem Fall: und
Daraus ergibt sich folgende Scheitelpunktform:
Binomische Formel
Klammer auflösen
Zusammenfassen
Stelle für das Zeichnen der Parabel eine Wertetabelle auf.
x | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | 3,6 | 0,4 | -2 | -3,6 | -4,4 | -4,4 | -3,6 | -2 | 0,4 |
Trage die Wertepaare (Punkte) in das Koordinatensystem und verbinde sie.
Für das Einzeichnen der Gerade benötigst du ein Steigungsdreieck.
Der y-Achsenabschnitt b = +1, Schnittpunkt A(0|1)
Steigung (Das bedeutet wir gehen 2 nach rechts und 1 nach unten.)
Teilaufgabe B 1.2
Wir zeichnen als erstes das Trapez . Dafür benötigen wir die Koordinaten der Eckpunkte.
Der Punkt (x|-0,5x+1) für :
(-1|1,5)
Bei (x|0,1x² - x - 2) für x = -1:
(-1|-0,9)
Wir zeichnen nun die Punkte (-1|1,5) und (-1|-0,9) in das Koordinatensystem ein.
Den Punkt finden wir mit Hilfe des Vektors .
Da wir wissen, dass die Strecke [CD] = 5 LE hat und parallel zu [AB] ist, können wir diese nun mit Hilfe eines Geodreiecks einzeichnen.
Das gleiche Vorgehen ist für das zweite Trapez mit notwendig.
Der Punkt (x|-0,5x+1) für : (4|)
Der Punkt (x|0,1x² - x - 2) für x = 4:
(4|-4,4)
Zeichne die Punkte A und B ein. Finde mit Hilfe des Vektors Punkt D. Zeichne erneut eine parallele Seite zu [AB] mit Anfangspunkt D mit der Länge von 5 LE.
Teilaufgabe B 1.3
Wir suchen die Schnittpunkte der Geraden und der Parabel . Da es nur Trapeze geben kann, wenn A und B jeweils zwischen den Schnittpunkten liegen.
Du kannst die Schnittpunkte finden, indem du die Gleichungen gleichsetzt:
Umformung: -0,5x-1
Die folgende Gleichung kann ich nun mit Hilfe der abc-Formel (Mitternachtsformel) lösen.
abc-Formel: a = 0,1 b = 0,5 c = -3
Für ]-3,52; 8,52[ gibt es beliebig viele Trapeze
Teilaufgabe B 1.4
Flächeninhalt der Trapeze :
Wir kennen (Vektor) und c = [CD] = 5 LE.
Gesucht ist noch die Länge :
Dafür brauchen wir die Koordinaten und . Die Länge berechnen wir, indem wir die y-Koordinaten voneinander abziehen.
Jetzt können wir alle Werte in die Formel einsetzen:
Den maximalen Flächeninhalt kann ich bestimmen, indem ich die Fläche als Parabel auffasse mit und ihren Scheitelpunkt (Extrempunkt) bestimme.
Den Scheitelpunkt kann man mit Hilfe der Formel oder der quadratischen Ergänzung bestimmen.
allgemein:
In diesem Fall:
Formel:
Quadratische Ergänzung:
Ausklammern
quadratische Ergänzung
binomische Formel
Klammer auflösen
Der Scheitelpunkt S (2,5|8,63).
Das heißt .
Teilaufgabe B 1.5
Wenn auf der y-Achse liegt, hat die x-Koordinate von den Wert 0.
Auf Grunde des Gegenvektors hat und den x-Wert - 2.
Gesucht ist der Punkt B:
ausmultiplizieren
Klammer auflösen
Der Punkt hat die y-Koordinate 0,4.
Teilaufgabe B 1.6
Gegeben: = 5 LE und
Maß der Winkel bzw. :
Der Winkel liegt in dem rechtwinkligen Dreieck EBC mit [EC] = 1 und [BE] = 2.