Die Wahrscheinlichkeit stellt ein Maß für die Sicherheit oder Unsicherheit eines Ereignisses in einem Zufallsexperiment dar.
Jedem Ereignis eines Zufallsexperimentes wird eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet, die man als die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bezeichnet.
- Für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses schreibt man meistens (das P kommt vom englischen Wort probability).
- Je höher ist, desto wahrscheinlicher ist, dass bei diesem Zufallsexperiment das Ereignis eintreten wird.Tritt mit Sicherheit ein, so gilt .Tritt mit Sicherheit nicht ein, so gilt .
Beispiele
1. Werfen eines fairen Würfels
Wirft man einen fairen Würfel, so könnte jede (natürliche) Zahl von 1 bis 6 mit gleicher Sicherheit fallen. Hier ergibt es Sinn, dass alle Elementarereignisse
die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, also .
Warum gerade 1/6?
Summiert man die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse, so ist das Ergebnis immer 1. Da dieses Zufallsexperiment sechs Elementarereignisse hat und alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, müssen diese jeweils 1/6 betragen.
2. Werfen eines unfairen (= gezinkten) Würfels
Wenn man weiß, dass der Würfel immer auf eine bestimmte Seite fallen wird, zum Beispiel auf die 5, können die Ereignisse nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Für die Ereignisse und muss jetzt gelten
da man weiß, dass diese nicht eintreten können.
Das Ereignis hat jedoch die Wahrscheinlichkeit , weil es sicher eintreten wird.
Bemerkung
Bei vielen Zufallsexperimenten ist es schwierig, die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen direkt zu bestimmen. In solchen Fällen wird für das Experiment sehr oft wiederholt und der Grenzwert der relativen Häufigkeiten des Ereignisses bei als Wahrscheinlichkeit gewählt.
Warum diese Wahl von Wahrscheinlichkeiten Sinn ergibt, findet man im Artikel Gesetz der großen Zahlen.
Rechenregeln
Gegenwahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses zum Ereignis ist gegeben durch
Warum ist das so?
Die Wahrscheinlichkeit des gesamten Ergebnisraums muss immer gleich 1 sein (siehe weiter unten „Normierung der Wahrscheinlichkeiten“). Außerdem kann man immer schreiben als . Zusammen mit der Additionsregel für unvereinbare Ereignisse (siehe weiter unten) gilt also:
, und diese Gleichung kann man nach leicht umformen.
Additionsregel für unvereinbare Ereignisse
Haben die Ereignisse und keine gemeinsamen Elemente, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder oder eintritt, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für und :
Die Ereignisse , und schließen sich gegenseitig aus, gleichzeitig ist
Daher ist
Wahrscheinlichkeit der Vereinigung (Satz von Sylvester)
Für zwei Ereignisse und gilt:
Die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse
Sind die Ereignisse und stochastisch unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl als auch eintreten, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von und .
In Formeln: , wenn und stochastisch unabhängig sind.
Normierung der Wahrscheinlichkeiten
Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisraums ist immer 1.