Während die absolute Häufigkeit angibt, wie oft ein bestimmtes Ereignis eintritt (Anzahl), beschreibt die relative Häufigkeit, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtzahl der Versuche ist.
Man berechnet die relative Häufigkeit daher folgendermaßen:
Die relative Häufigkeit kann man als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit verwenden, wenn die Gesamtzahl der Versuche ausreichend groß ist.
Beispiel
Ein Würfel wird 20-mal geworfen und fünfmal erscheint die 3. Damit ist die absolute Häufigkeit des Ereignisses „Es fällt eine 3“ gleich 5.
Die relative Häufigkeit ist gleich der absoluten Häufigkeit geteilt durch die Anzahl der Versuche:
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Eigenschaften und Rechenregeln
Wenn man zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments betrachtet, kann man die relativen Häufigkeiten in einer Vierfeldertafel darstellen.
Für die folgenden Eigenschaften seien und Ereignisse, z. B. bestimmte Augenzahlen beim Würfeln.
- , d. h., die relative Häufigkeit hat nur Werte zwischen 0 und 1.
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Die Ungleichung kann man mit Hilfe der Definition von der relativen Häufigkeit erklären:
und sind immer natürliche Zahlen, sodass der Quotient größer als oder gleich 0 ist. Beachte dabei, dass den Wert 0 haben kann, aber nicht, denn im Nenner steht nie eine 0 (vgl. Bruch).
Ein Ereignis kann nicht öfter auftreten als die Anzahl aller Versuche, sodass immer kleiner als oder gleich ist. Somit ist der Quotient kleiner als oder gleich 1.
Hinweis:
ist eine Kurzschreibweise und bedeutet:
Einerseits ist größer-gleich 0 () und andererseits kleiner-gleich 1 ().
- für das sogenannte sichere Ereignis.
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tritt immer ein, da es das sichere Ereignis ist. Damit sind und gleich groß und der Bruch gleich 1.
- für die Summe von Ereignissen.
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Anschaulich kann man das an einem Venn-Diagramm erklären (denn die Ereignisse und sind Mengen):
Um und zu vereinigen, kann man nicht einfach deren Elemente zusammenzählen. Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind, würde man dann zweimal (doppelt schraffierter Bereich) zählen. Um diesen Fehler zu korrigieren, muss man den Schnitt von und einmal abziehen. Damit zieht man alle doppelt vorhandenen Elemente wieder ab.
In dieser Aufgabe wird die Formel anhand eines Beispiels rechnerisch überprüft.
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- für das Gegenereignis.
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Da gilt, kann man schreiben als . steht für die Menge, die bleibt, wenn man aus alle Elemente von entfernt.
Außerdem gilt , da das sichere Ereignis ist.
Beziehung zur Wahrscheinlichkeit
Wenn ein Zufallsexperiment nur sehr wenige Male durchgeführt wird, ist die relative Häufigkeit oft nicht sehr aussagekräftig, denn ihr Wert ist sehr vom Zufall beeinflusst.
Besonders zu Beginn einer Reihe von Versuchsdurchführungen kann sie zudem starken Schwankungen unterliegen.
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Aus mathematischen Gründen kann nicht jeden beliebigen Wert zwischen 0% und 100% annehmen, sondern es sind stets nur bestimmte "Stufen" möglich.
- Wenn man den Versuch nur einmal durchführt, gibt es nur zwei mögliche Werte, die annehmen kann, nämlich0%, wenn nicht eingetreten ist, und 100%, wenn eingetreten ist.
- Wenn man den Versuch zweimal durchführt, kann folgende Werte annehmen: 0%, wenn keinmal eingetreten ist,50%, wenn einmal eingetreten ist,100%, wenn zweimal eingetreten ist.
- usw.
Je größer ist, desto mehr Stufen gibt es, die annehmen kann.
Bei kleinerem gibt es weniger Stufen, und daher sind die Sprünge zwischen den Stufen größer. Wenn dann durch Zufall einmal mehr oder einmal weniger eintritt, macht das viel mehr aus als bei großem .
Die Erfahrung zeigt aber, dass sich bei sehr vielen Durchführungen die relative Häufigkeit eines Ereignisses im Normalfall immer irgendwann auf einen bestimmten Wert stabilisiert.
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Dies ist ausgedrückt im sogenannten empirischen Gesetz der großen Zahlen.
"Empirisch" bedeutet dabei "auf der Erfahrung beruhend". Das empirische Gesetz der großen Zahlen ist kein "Gesetz" in dem Sinne, dass man mathematisch exakt beweisen könnte, dass sich die relative Häufigkeit immer einem bestimmten Grenzwert annähern muss.
Aber man weiß es aus der Erfahrung, dass sie es (normalerweise) tut.
Weil man es hier mit Zufallsexperimenten zu tun hat, kann man lediglich eine Aussage über die Wahrscheinlichkeiten machen; das heißt also:
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich einem Wert annähert, wenn gegen Unendlich geht, beträgt .
Den Wert, auf den sich die relative Häufigkeit annähert, verwendet man auch als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit. Auf diese Weise kann man Werte für Wahrscheinlichkeiten, die man nicht theoretisch berechnen kann, experimentell aus Daten ermitteln.
Voraussetzung ist dabei stets, dass die Versuchsreihen, aus denen die relativen Häufigkeiten berechnet werden, lang genug sind, bzw. dass das Experiment oft genug wiederholt wurde.
Bemerkung: Für die Wiederholung eines Experiments benutzt man oft den Computer, denn er kann viel schneller ein Experiment wie zum Beispiel das Werfen eines Würfels simulieren, als es ein Mensch in der Realität ausführen könnte.
Video zum Thema „Relative Häufigkeit“
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