2.0 Die Punkte und sind für gemeinsame Eckpunkte von Vierecken . Die Eckpunkte liegen auf der Geraden mit der Gleichung . Der Punkt ist der Mittelpunkt der Diagonalen .
Für die Diagonalen gilt: und .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
2.1 Zeichnen Sie die Gerade und das Viereck für sowie die Diagonalen und in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit cm;
2.2 Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte .
[Ergebnis: ]
2.3 Bestimmen Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte .
2.4 Unter den Vierecken gibt es das Drachenviereck .
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die -Koordinate des Punktes gilt: .
Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Drachenvierecks .
2.5 Der Punkt entsteht durch Achsenspiegelung des Punktes an der Geraden . Für das Viereck gilt: .
Berechnen Sie die Koordinaten von und zeichnen Sie sodann das Viereck in das Koordinatensystem zu 2.1 ein.
2.6 Begründen Sie, dass für die Flächeninhalte der Dreiecke und gilt:
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Lösungsvorschlag zu Teilaufgabe 2.1
Für ergibt sich der Punkt . Um den Punkt zu bestimmen, betrachten wir die angegebene Gleichung . Aus dieser wollen wir den Punkt bestimmen. Dazu berechnen wir zunächst die Koordinaten von . Dieser Punkt ist der Mittelpunkt der Diagonalen . Seine Koordinaten berechnen sich zu:
sodass wir finden: .
Damit kannst du nun die Koordinaten von berechnen. Es gilt
beziehungsweise äquivalent
also
Also ist .
Bemerkung: Diese Aufgabe ist ein schönes Beispiel dafür, dass es sich manchmal lohnen kann, die Aufgabenstellung erst vollständig zu lesen. Die Berechnung von ist zwar für die Skizze notwendig, aber in Teilaufgabe 2.1 gar nicht explizit verlangt. Selbstverständlich kann man die Koordinaten wie oben gezeigt ausrechnen, wer jedoch Teilaufgabe 2.2 gelesen hat, kann auch einfach das dort angegebene Ergebnis nutzen und einsetzen und erhält so direkt die Koordinaten von .
Mit diesen Ergebnissen lässt sich die Skizze bereits anfertigen und sollte bei dir so aussehen.
Wie man Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnet, kannst du hier nochmal nachlesen.
Lösungsvorschlag zu Teilaufgabe 2.2
Hier kannst du genau wie in Teilaufgabe 2.1 vorgehen, nur dass du dieses Mal ein wenig allgemeiner rechnen musst.
Die Koordinaten des Mittelpunktes bleiben gleich, da sich die Punkte und nicht ändern und damit auch nicht ihre Diagonale. Es ist also nach wie vor .
Damit kannst du nun die Koordinaten von berechnen. Es gilt
beziehungsweise äquivalent
also
Also ist .
Lösungsvorschlag zu Teilaufgabe 2.3
Aus der letzten Teilaufgabe weißt du, dass gilt.
Das bedeutet ganz konkret
und
Löst du die Gleichung der -Koordinate nach der Variablen auf, ergibt sich
Einsetzen von in die Gleichung für liefert schließlich
Die Gleichung des Trägergraphen der Punkte lautet also
Lösungsvorschlag zu Teilaufgabe 2.4
Für diese Teilaufgabe musst du dich an eine besondere Eigenschaft von Drachenvierecken erinnern. In einem Drachenviereck stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander oder mit anderen Worten: sie bilden einen rechten Winkel. Aus dieser Eigenschaft ist es möglich, folgende Bedingung ableiten:
Die in dieser Gleichung vorkommenden Vektoren kannst du genauer angeben:
und
Berechnest du nun das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren und setzt das Ergebnis wie in der ersten Gleichung gefordert gleich null, so erhältst du
Hier kannst du den ersten Summanden ausmultiplizieren und die Terme mit und die Terme ohne zusammenfassen. Es bleibt stehen:
Also muss erfüllt sein. Stellst du diese Gleichung nach um, so erhältst du
Im zweiten Teil dieser Teilaufgabe soll nun noch der Flächeninhalt des Drachenvierecks berechnet werden.
Hierfür kann einfach die Flächeninhaltsformel für ein Drachenviereck verwendet werden. Sie lautet in unserem Fall unter Ausnutzung von :
Um konkrete Zahlenwerte in die Formel einsetzen zu können, musst du nun die in der Formel vorkommenden Seitenlängen berechnen. Es gilt
und
Der Flächeninhalt berechnet sich also zu:
Lösungsvorschlag zu Teilaufgabe 2.5
Die Gerade beschreibt eine Ursprungsgerade, die zur -Achse den Winkel einschließt.
Die Koordinaten des Punktes berechnen sich somit mithilfe der Spiegelungsmatrix für Spiegelungen an Ursprungsgeraden zu
Zeichnen wir den so berechneten Punkt und das Viereck in die Skizze aus Teilaufgabe 2.1 ein, so ergibt sich folgende erweiterte Skizze. Der Punkt ergibt sich dabei als Schnittpunkt der Geraden mit der Verbindungsstrecke der Punkte und . Der Punkt ergibt sich über die in der Aufgabenstellung angegebene Beziehung .
Lösungsvorschlag zu Teilaufgabe 2.6
Um diese Teilaufgabe zu lösen, musst du die Flächeninhalte der angegebenen Dreiecke berechnen. Dabei solltest du beachten, dass es sich hier nicht um rechtwinklige Dreiecke handelt und wir daher die allgemeine Flächeninhaltsformel für Dreiecke verwenden müssen.
Der Flächeninhalt der Dreiecke berechnet sich zu
während sich der Flächeninhalt der Dreiecke berechnen lässt, zu
Also berechnet sich das Verhältnis gerade zu