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1. binomische Formel

Beispiel:

2. binomische Formel

Beispiel:

3. binomische Formel

Beispiel:

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1. Binomische Formel

Rechnerisch

Man kann die linke Seite einfach ausmultiplizieren:

Anschaulich

Die Gültigkeit dieser Gleichung kann man sich auch anhand einer Zeichnung klarmachen:

Berechnet man den Flächeninhalt des gesamten Quadrats, dann erhält man mit der Seitenlänge als Ergebnis .

Zählt man stattdessen die Flächeninhalte der vier Vierecke zusammen, so bekommt man:

Bei diesen zwei unterschiedlichen Herangehensweisen kommen wir auf dasselbe Ergebnis, also gilt:

2. binomische Formel

Rechnerisch

Anschaulich

Man geht von der rechten Seite der Gleichung aus und versucht aus dem gesamten Quadrat mit Flächeninhalt das kleine Quadrat mit Flächeninhalt zu bekommen.

Das gesamte Quadrat hat den Flächeninhalt . Man zieht davon zuerst das schraffierte Rechteck ab. Der Rest (rosa Fläche) hat nun den Flächeninhalt .

Nun zieht man zusätzlich diese schraffierte Fläche ab. Wir erhalten als Flächeninhalt .

Allerdings haben wir das Quadrat unten rechts mit dem Flächeninhalt einmal zu viel abgezogen, sodass die Fläche wieder dazu gezählt werden muss.

Damit bekommt man die Fläche mit dem Flächeninhalt .

Insgesamt erhalten wir also für den Flächeninhalt:

3. Binomische Formel

Rechnerisch

Anschaulich

Das große Quadrat hat den Flächeninhalt . Man sucht nun ein Quadrat unten rechts mit dem Flächeninhalt . Das schraffierte Rechteck darüber, mit den Seitenlängen und schneidet man aus und legt es an die rote Fläche unten dran.

Das rote und das lila schraffierte Rechteck zusammen haben den Flächeninhalt . Zusätzlich gibt es immer noch das kleine, grüne Quadrat mit dem Flächeninhalt .

Dies ergibt insgesamt den Flächeninhalt:

Da nur das lila schraffierte Rechteck verschoben wurde, hat sich der gesamte Flächeninhalt nicht verändert. Damit gilt:

Wenn man nun auf beiden Seiten subtrahiert, erhält man die binomische Formel:

Verwendung der binomischen Formeln

Die binomischen Formeln werden in zwei verschiedene Richtungen angewendet:

• "vorwärts" zum Auflösen der Klammern oder
• "rückwärts" zum Umwandeln einer Summe bzw. Differenz in ein Produkt ("Faktorisieren")

Binomische Formeln "vorwärts" (d.h. zum Auflösen der Klammern)

Hierbei wird ein Produktterm in eine Summe oder Differenz umgewandelt.

Allgemeine Vorgehensweise

1. Terme vergleichen und entscheiden, welche Formel man anwenden muss
2. Sich klarmachen, was und ist
3. Formel anwenden

Beispiele

• 1. binomische Formel:
• 2. binomische Formel:
• 3. binomische Formel:

Binomische Formeln "rückwärts" (d.h. zum Faktorisieren)

Man kann die binomische Formel auch umgekehrt anwenden. Hier macht man aus Summen Produkte. Das hat vor allem Vorteile beim Kürzen.

Allgemeine Vorgehensweise

Zuerst musst du überprüfen, wie viele Summanden der Term besitzt.

• Sind es drei, so kommen die ersten beiden Formeln infrage,
• sind es zwei, so kann die dritte Formel hilfreich sein,
• sind es mehr als drei Summanden, so muss man zuerst versuchen, die Terme zusammenfassen.

Drei Summanden

Hat man drei Summanden, so überprüft man, ob zwei der Summanden Quadrate mit positiven Vorzeichen sind. Notfalls muss man zuerst einen geeigneten Faktor ausklammern. Die Wurzeln dieser Quadrate nennt man und .

Ist dies der Fall, so muss man noch den mittleren Term überprüfen, indem man berechnet.

Falls dieses Ergebnis mit dem mittleren Summanden aus der Aufgabenstellung übereinstimmt, kann man die binomische Formel zum Faktorisieren benutzen, indem man nun noch das Vorzeichen betrachtet und je nachdem die erste oder die zweite binomische Formel benutzt.

Zwei Summanden

Hat man zwei Summanden, so überprüft man, ob nur vor einem der beiden Summanden ein Minuszeichen steht.

Ist dies der Fall, so überprüft man, ob die beiden Summanden Quadrate sind. Ist das auch der Fall, so kann man mithilfe der dritten binomischen Formel faktorisieren.

Falls keiner der Summanden ein Quadratterm ist, kann man noch versuchen, einen geeigneten Faktor auszuklammern.

Keiner der Wege funktioniert

Der Term lässt sich nicht mithilfe einer binomischen Formel faktorisieren. Hier kannst du nur vereinfachen, indem du die quadratische Ergänzung benutzt, das ist dann allerdings keine Faktorisierung mehr.

Der zugehörige Entscheidungsbaum sieht aus wie folgt:

Beispiel 1

1. Man kann nichts ausklammern/zusammenfassen und wir haben drei Summanden.
2. Es gibt 2 Quadratterme: und
3. Sie haben beide ein positives Vorzeichen.
4. Mischterm überprüfen:, , also muss der Mischterm sein.Das passt zur 1. binomischen Formel mit und .Man bekommt das Ergebnis .

Beispiel 2

1. Den Term ausklammern:
2. Es gibt 2 Quadratterme: und
3. hat positives Vorzeichen, hat negatives Vorzeichen.Es lässt sich die 3. binomische Formel anwenden, mit und .Man bekommt als Ergebnis .

Beispiel 3

1. Den Term ausklammern:
2. Es gibt 2 Quadratterme: und
3. Sie haben beide positives Vorzeichen.
4. Mischterm überprüfen:, , also muss der Mischterm sein.Die Mischterme stimmen nicht überein.Es lässt sich keine binomische Formel anwenden.

Video zum Thema Binomische Formeln