1.0 Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1.1 Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion an.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu für in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit ; ;
1.2 Der Graph der Funktion wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor auf den Graphen der Funktion abgebildet.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion die Gleichung mit besitzt.
Geben Sie sodann die Gleichung ihrer Asymptote an und zeichnen Sie den Graphen zu in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
1.3 Punkte auf dem Graphen zu und Punkte auf dem Graphen zu haben dieselbe Abszisse und sind zusammen mit Punkten und die Eckpunkte von Parallelogrammen .
Die Punkte liegen ebenfalls auf dem Graphen zu , ihre Abszisse ist um größer als die Abszisse der Punkte .
Zeichnen Sie die Parallelogramme für und für in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
1.4 Berechnen Sie das Maß des Winkels .
1.5 Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt:
[Teilergebnis:
1.6 Unter den Parallelogrammen gibt es die Raute . Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes .
Lösung anzeigen
Lösung 1.1
Die Definitionsmenge der Funktion beinhaltet alle Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen.
ist eine positive Zahl, im Exponenten kann daher eine beliebige Zahl eingesetzt werden. Die Definitionsmenge von sind dementsprechend die reellen Zahlen .
Der Graph von sieht so aus:
Lösung 1.2
Hier geht es zunächst darum, eine Funktion erst zu spiegeln und danach zu verschieben.
Schritt 1: Spiegelung an der x-Achse
Um an der x-Achse zu spiegeln, multiplizierst du den Funktionsterm mit :
Erläuterung anhand der Abbildungsgleichung
Man kann dies auch mit Hilfe einer Abbildungsgleichung erklären.
Die Spiegelung an der x-Achse besitzt folgende Abbildungsgleichung:
Setzt man nun den Punkt auf dem Funktionsgraphen von in diese Gleichung ein, ergibt sich:
Schritt 2: Parallelverschiebung
Nun musst du die Funktion noch mit dem Vektor verschieben. Der Vektor verschiebt um in x-Richtung, also erhältst du , und um in y-Richtung, diese Verschiebung bekommst du durch . Insgesamt entsteht also als Funktionsterm:
Erläuterung anhand der Abbildungsgleichung
Man kann dies auch mit Hilfe einer Abbildungsgleichung erklären.
Die Parallelverschiebung besitzt folgende Abbildungsgleichung:
Setzt man nun den Punkt in diese Gleichung ein, ergibt sich:
Nun löst man die erste Gleichung nach auf
und setzt in die zweite Gleichung ein:
Die Asymptote von liegt bei . Dafür kannst du dir das Verhalten der Funktion ansehen. Wenn sehr große Werte annimmt, dann geht der Term gegen und die Funktion geht dann gegen
Lösung 1.3
Bei dieser Teilaufgabe musst du die Koordinaten der Punkte nicht ausrechnen, um die Parallelogramme einzuzeichnen. Trotzdem kannst du dir hier nochmal rechnerisch veranschaulichen, wie die Punkte entstehen.
Bereits gegeben sind die Koordinaten der Punkte
und
Die Koordinaten der Punkte bestimmt man durch Veränderung der Abszisse von (man rechnet lediglich ).
Für erhältst du also die Punkte , und Die Koordinaten des Punktes erhältst du, indem du an den Punkt den Vektor anlegst. Es gilt dann:
Die Koordinaten des Punktes sind also .
Für erhältst du die Punkte , und . Für gilt dann:
Die Koordinaten sind diesmal also
Hinweis: auch ein Blick in Aufgabe 1.5 liefert die Lösung für die Koordinaten der Punkte !
Lösung 1.4
Das Maß des Winkels ist das Maß des Winkels zwischen den Vektoren und Um es zu berechnen benötigst du das Skalarprodukt.
Den Vektor hast du bereits in Teilaufgabe 1.3 verwendet. Nun kannst du noch berechnen. Eingesetzt in die Formel für die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren erhältst du:
Das Ergebnis ist dann . Durch Anwendung des Arkuskosinus erhältst du nun das Endergebnis .
Lösung 1.5
Bei dieser Aufgabe sind die Potenzgesetze wichtig.
Wie du schon aus Teilaufgabe 1.3 weißt, erhältst du die Punkte indem du den Vektor an den Punkt anlegst. Nun kannst du zuerst die Koordinaten von bestimmen:
Unter Verwendung der Potenzgesetze gilt nun
Du erhältst dann für
Jetzt kannst du bestimmen:
Insgesamt erhältst du also: .
Lösung 1.6
Bei einer Raute sind alle Seiten gleich lang. Außerdem stehen die Diagonalen der Raute senkrecht aufeinander.
Die Diagonalen von sind und .
verläuft parallel zur y-Achse (gleiche Abszisse x), deshalb verläuft parallel zur x-Achse.
Die y-Werte von und sind also gleich und du erhältst diese Gleichung:
Um diese Gleichung zu lösen, wendest du jetzt noch den Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung an und verwendest seine Gesetze:
Die Abszisse von ist also .
