Gegeben ist die Funktion mit .
In welchen Intervallen ist streng monoton wachsend?
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Eine reellwertige Funktion auf einem Intervall mit heißt
- monoton wachsend auf , falls aus folgt, dass ist.
- streng monoton wachsend auf , falls aus folgt, dass ist.
Kurz gesagt bedeutet monotones Wachstum: Je weiter du von ausgehend auf zugehst, desto größer werden die Funktionswerte von .
- monoton fallend auf , falls aus folgt, dass ist.
- streng monoton wachsend auf , falls aus folgt, dass ist.
Kurz gesagt bedeutet monotone Abnahme: Je weiter du von ausgehend auf zugehst, desto kleiner werden die Funktionswerte von .
Ist die betrachtete Funktion differenzierbar, so kannst du ihr Monotonieverhalten folgendermaßen bestimmen:
- Ist (bzw. ) für alle in , so wächst monoton (bzw. streng) auf .
- Ist (bzw. ) für alle in , so fällt monoton (bzw. streng monoton) auf .
Dieses Vorgehen kannst du auf differenzierbare Funktionen verallgemeinern, indem du die Ableitung berechnest und in größtmögliche Intervalle unterteilst, auf welchen oder ist.
In dieser Aufgabe ist
ist laut Produkt- und Kettenregel differenzierbar, womit du also ihre Ableitung berechnen kannst:
Detaillierte Begründung der Differenzierbarkeit von f
Die Exponentialfunktion ist (beliebig oft) differenzierbar mit . Auch Polynome sind (beliebig oft) differenzierbar, weshalb die Funktionen und (beliebig oft) differenzierbar sind; ihre Ableitungen sind
und .
Wegen ist gemäß der Produkt- und Kettenregel ebenfalls (beliebig oft) differenzierbar.
Anwendung der Produktregel
Anwendung der Kettenregel unter Benutzung von liefert:
Durch Einsetzen der Ableitung erhältst du
Hier kannst du den Ausdruck herausheben:
Dabei ist für reelle immer positiv.
Genauere Begründung
Die Exponentialfunktion nimmt ausschließlich positive Werte an. Wir definieren als eine weitere Funktion.Damit hat auch die Verknüpfung beider Funktionen nur positive Bilder.
Daher hängt das Vorzeichen von nur von dem Ausdruck ab:
für und
für .
Insgesamt ist
für und
für .
Nach dem obigen Kriterium für differenzierbare Funktionen kannst du folgende Aussage zum Monotonieverhalten von angeben:
wächst streng monoton für und fällt streng monoton für .
Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von .
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- Berechne zuerst die Nullstellen der 1. Ableitung.
- Überprüfe mithilfe der 2. Ableitung, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.
Aus Teilaufgabe a) weißt du bereits, dass ist. Berechne nun die Nullstellen der ersten Ableitung.
Setze für ein.
Desweiteren solltest du aus Teilaufgabe a) in Erinnerung behalten haben, dass ist. Somit ist die linke Seite der Gleichung genau dann gleich Null, wenn ist. Dies ist nur für erfüllt.
ist also der einzige Punkt von , der als Hoch- oder Tiefpunkt in Frage kommt.
Um zu entscheiden, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, berechnest du die zweite Ableitung von .
Wende die Produktregel an.
Wie in Teilaufgabe a) nutzt du zum Ableiten von die Kettenregel und erhältst . Dies setzt du zusammen mit ein.
Hineinziehen des Minuszeichens in die Klammer.
Nun klammerst du aus.
Nun setzt du in die 2. Ableitung von ein.
Da kleiner als 0 ist, ist ein Hochpunkt von .
Die Funktion hat genau einen Hochpunkt bei .
Skizziere den Graphen von .
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