Gegeben ist die Funktion mit Definitionsmenge .
Die Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen von im I. Quadranten.
a)
(3 BE)
Begründen Sie, dass die einzige Nullstelle von ist. Geben Sie die Gleichung der senkrechten Asymptote von an und begründen Sie anhand des Funktionsterms von , dass die Gerade mit der Gleichung als waagrechte Asymptote besitzt.
b)
(5 BE)
Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunktes von .
c)
(4 BE)
Begründen Sie, dass für nur im III. Quadranten verläuft, und zeichnen Sie in die Abbildung den darin fehlenden Teil von ein. Berechnen Sie dazu und drei weitere geeignete Funktionswerte von .
d)
(3 BE)
Gegeben ist ferner die in definierte Funktion
Zeigen Sie, dass für eine Stammfunktion von ist.
Ein Pharmaunternehmen führt eine Studie zur Wirksamkeit und Verträglichkeit eines neu entwickelten Medikaments durch. Wenn das Medikament einmalig in der Form einer Tablette eingenommen wird, kann die zeitliche Entwicklung des Wirkstoffes im Blut des Patienten modellhaft durch die betrachtete Funktion für beschrieben werden. Dabei steht für die Zeit in Stunden seit der Einnahme der Tablette und für die Konzentration des Wirkstoffes im Blut des Patienten (im Weiteren kurz als Wirkstoffkonzentration bezeichnet) in Milligramm pro Liter .
Die folgenden Aufgaben e bis i sollen auf der Grundlage dieses Modells bearbeitet werden.
e)
(2 BE)
Berechnen Sie die Wirkstoffkonzentration 30 Minuten nach Einnahme der Tablette und geben Sie die maximal auftretende Wirkstoffkonzentration an.
f)
(3 BE)
An der Stelle hat einen Wendepunkt. Beschreiben Sie, wie man rechnerisch vorgehen könnte, um dies zu begründen. Geben Sie die Bedeutung der x-Koordinate des Wendepunkts im Sachzusammenhang an.
In der Pharmakologie wird das in positive x-Richtung unbegrenzte Flächenstück, das sich im I. Quadranten zwischen und der x-Achse befindet, als AUC ("area under the curve") bezeichnet. Nur dann, wenn diesem Flächenstück ein endlicher Flächeninhalt zugeordnet werden kann, kann die betrachtete Funktion die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration auch für große Zeitwerte realistisch beschreiben.
g)
(4 BE)
Die x-Achse, und die Gerade mit schließen im I. Quadranten ein Flächenstück mit dem Inhalt ein. Bestimmen Sie mithilfe der in Aufgabe angegebenen Stammfunktion einen Term für und beurteilen Sie unter Verwendung dieses Terms, ob die Funktion auch für große Zeitwerte eine realistische Modellierung der zeitlichen Entwicklung der Wirkstoffkonzentration darstellt.
Das Medikament zeigt die gewünschte Wirkung erst ab einer bestimmten Wirkstoffkonzentration. Daher soll der Patient nach der ersten Tablette des Medikaments eine zweite identisch wirkende Tablette einnehmen, noch bevor die Konzentration des Wirkstoffs im Blut unter fällt. Nach der Einnahme der zweiten Tablette erhöht sich die Wirkstoffkonzentration um die durch diese Tablette verursachte Konzentration des Wirkstoffs im Blut.
h)
(4 BE)
Ermitteln Sie durch Rechnung den spätesten Zeitpunkt, zu dem die zweite Tablette eingenommen werden soll.
i)
(3 BE)
Wird die zweite Tablette zweieinhalb Stunden nach der ersten Tablette eingenommen, so kann die Wirkstoffkonzentration für mit einem der folgenden Terme beschrieben werden. Wählen Sie den passenden Term aus und begründen Sie Ihre Wahl.
Verabreicht man das Medikament nicht in der Form von Tabletten, sondern mittels einer Dauerinfusion, so wird der Wirkstoff langsam und kontinuierlich zugeführt. Die in definierte Funktion beschreibt für modellhaft die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration während einer Dauerinfusion. Dabei ist die seit Anlegen der Dauerinfusion vergangene Zeit in Stunden und die Wirkstoffkonzentration in .
j)
(4 BE)
Begründen Sie, dass der Graph von streng monoton steigend ist.
(zur Kontrolle: )
k)
(5 BE)
Bei Dauerinfusion dieses Medikaments muss die Wirkstoffkonzentration spätestens 60 Minuten nach Beginn der Infusion dauerhaft größer als sein und stets mindestens 25% unter der gesundheitsschädlichen Grenze von liegen. Ermitteln Sie und beurteilen Sie beispielsweise unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, ob gemäß der Modellierung diese beiden Bedingungen erfüllt sind.
Lösung anzeigen
In dieser Abituraufgabe wird die Wirkstoffkonzentration eines Medikaments anhand einer gebrochen-rationalen Funktion und einer e-Funktion modelliert.
Lösung Teilaufgabe a)
Gegeben:
ist die einzige Nullstelle von f, da der Quotient nur Null wird, wenn der Zähler ist.
Formale Berechnung der Nullstelle(n):
Angabe der senkrechten Asymptote von :
Die Funktion hat (nur) für einen (geraden) Pol. Die Gleichung der senkrechten Asymptote des Graphen lautet also
Formaler Nachweis des Polverhaltens der Funktion :
linksseitige Annäherung an :
rechtsseitige Annäherung an :
Das rechnerische Ergebnis der beidseitigen Annäherung an die Stelle bestätigt das Vorliegen einer geraden Polstelle mit .
Begründung der waagrechten Asymptote für :
Die Funktion ist eine echt gebrochen rationale Funktion (der Grad des Zählers ist 1; der Grad des Nenners ist 2) und der Graph hat deshalb die x-Achse als waagrechte Asymptote.
Eine rechnerische Grenzwertüberlegung führst du folgendermaßen durch:
Es gilt:
Du kannst jetzt beide Grenzwertbetrachtungen (für und für ) "in einem Zug" durchführen:
Prüfungshinweis
Da die Teilaufgabe a lediglich 3 BE erbringt, wirst du davon ausgehen können, dass in der Abiturprüfung die ausführlichen rechnerischen Begründungen für die drei zu gebenden Antworten nicht erwartet werden.
Lösung Teilaufgabe b)
In der Teilaufgabe ist Lage und die Art des Extremums des Graphen der gebrochenrationalen Funktion zu bestimmen. Dazu verwendest du die Quotientenregel und die Kettenregel.
Lage des Extremums
Bilde die 1. Ableitung der Funktion .
Zur Berechnung der Ableitung kannst du die Quotientenregel benutzen.
Gegeben ist:
Setze gleich Null und löse die Gleichung:
Setze in ein, um die 2. Koordinate des möglichen Extremums zu erhalten:
Der Punkt ist ein mögliches lokales Extremum von .
Art des Extremums
ist ein lokales Maximum.
Begründung:
Es ist die einzige Nullstelle und für alle positiven ist positiv mit . Dann ist die einzige Stelle mit waagrechter Tangente ein lokales Maximum des Graphen.
Alternative Begründung
Du kannst auch den Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung heranziehen:
Für ein (etwas) kleiner als gilt , da dann Zähler und Nenner positiv.
Für ein (etwas) größer als gilt , da der Zähler dann negativ, der Nenner aber positiv ist.
Damit wechseln die Funktionswerte von beim Durchgang von links nach rechts bei ihr Vorzeichen von plus nach minus.
Für ergibt sich also ein lokales Maximum.
Prüfungshinweis
Für die gestellte Aufgabe sind die beiden aufgezeigten Lösungswege (Betrachtung von Funktionswerten oder Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung) die zweckmäßigsten Vorgehensweisen, um die Art des vorliegenden Extremums zu begründen.
Weniger empfehlenswert - weil zeitaufwendig und störanfällig - ist es, die 2. Ableitung heranzuziehen. Insbesondere deswegen, weil auch im weiteren Verlauf der Aufgabenstellung die 2. Ableitung nicht explizit nötig ist. Selbst in der Teilaufgabe nicht.
Zur Ermittlung der Art des Punktes mit waagrechter Tangente kannst du - notfalls - auch die 2. Ableitung von heranziehen.
Setze die x-Koordinate des Punktes in ein:
ist ein lokales Maximum.
Lösung Teilaufgabe c)
Mit ist für negative der Funktionsterm negativ, da der Zähler dann negativ, der Nenner aber positiv ist.
Der Graph verläuft also für negative x-Werte im III. Quadranten.
Für die gewählten Punkte mit , , und erhältst du:
Der Graph mit den Punkten
Lösung Teilaufgabe d)
Gegeben ist die Funktion
mit
ist dann für eine Stammfunktion, wenn für dieses Intervall gilt: .
Damit ist gezeigt, dass für eine Stammfunktion von ist.
Lösungen der Teilaufgaben e) - i)
In diesen Teilaufgaben modelliert die Funktion mit ihren Funktionswerten Wirkstoffkonzentrationen einer Tablette in Abhängigkeit vom Zeitverlauf in Stunden.
Zu berechnen ist für und anzugeben ist das Maximum von in der Einheit .
.
Ergebnis:
30 Minuten nach Einnahme einer Tablette beträgt die Wirkstoffkonzentration des Medikaments rund .
Die maximale Wirkstoffkonzentration wird im Extremum des Graphen von , also nach einer Stunde mit einer Konzentration von erreicht.
f)
(3 BE)
Den Nachweis, dass für der Graph einen Wendepunkt hat, führst du rechnerisch indem du die 2. Ableitung von berechnest und feststellst, dass diese für Null wird. Zusätzlich zeigst du, dass die 2. Ableitung für ihr Vorzeichen wechselt oder du überprüfst, ob die 3. Ableitung von für von Null verschieden ist.
Im Sachzusammenhang der Aufgabe gibt die x-Koordinate des Wendepunkts die größte lokale Änderungsrate an. Also ist nach 2 Stunden der Zeitpunkt der maximalen Abnahme der Wirkstoffkonzentration erreicht.
g)
(4 BE)
Die Aufgabe zielt auf die Untersuchung, ob der Grenzwert endlich ist.
Berechne jetzt den Grenzwert für :
Ergebnis:
Da der Flächeninhalt bei nicht endlich ist, eignet sich die Funktion nicht als Modellierung für große Zeitwerte.
h)
(4 BE)
Du musst feststellen, ab welchem x-Wert die Funktion in ihrem monoton fallenden Bereich kleiner als wird.
Schneide dazu den Graphen von mit der Geraden .
Umformung: \cdot 4(1+x)^2
Mitternachtsformel
scheidet aus, da hierfür steigend ist.
Ergebnis:
Die zweite Tablette muss nach spätestens drei Stunden eingenommen werden.
Siehe die nachfolgende Zeichnung.
i)
(3 BE)
Der passende Term ist der Term .
Begründung:
Im Intervall wird die gemeinsame Wirkstoffkonzentration beider Tabletten durch die Summe der Funktion und der um 2,5-Längeneinheiten nach rechts verschobenen Funktion von erfasst.
Lösungen Teilaufgaben j) - k)
In diesen Teilaufgaben modelliert die in definierte Funktion für die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration einer Dauerinfusion.
j)
(4 BE)
Du zeigst, dass der Graph von streng monoton steigend ist, indem du nachweist, dass für alle .
Bilde mit Hilfe der Quotientenregel und der Kettenregel die 1. Ableitung von .
Begründung:
ist für alle positiv, da - unter Beachtung des positiven Verlaufs von Zähler und Nenner des Quotienten positiv sind.
Folglich ist der Graph von in streng monoton steigend.
k)
(5 BE)
Darum geht es:
Wirkstoffkonzentration "spätestens nach 1 Stunde dauerhaft größer als " bedeutet,du musst zeigen, dass größer als für alle ist.
Wirkstoffkonzentration "stets mindestens 25% unter der schädlichen Grenze von " bedeutet, zu keiner Zeit darf eine Konzentration von erreicht werden.
Zusammenfassend ist zu zeigen, dass für gilt .
Zunächst gilt:
Da monoton steigend ist, musst du noch den Grenzwert berechnen.
Ergebnis:
Die Rechenergebnisse bestätigen und die Graphik unterstreicht, dass die Modellierung der Dauerinfusion durch die gegebene Funktion die gestellten Bedingungen erfüllt.