Gegeben ist die Funktion mit maximalem Definitionsbereich . Der Graph von wird mit bezeichnet.
a)
(3 BE)
Zeigen Sie, dass ist und geben Sie das Verhalten von an den Grenzen des Definitionsbereichs an.
b)
(2 BE)
Berechnen Sie die Nullstelle von .
c)
(5 BE)
Beschreiben Sie, wie schrittweise aus dem Graphen der in definierten Funktion hervorgeht. Erklären Sie damit das Monotonieverhalten von .
d)
(4 BE)
Zeigen Sie, dass mit Definitionsbereich eine Stammfunktion von ist, und bestimmen Sie den Term der Stammfunktion von , die bei eine Nullstelle hat.
Lösung anzeigen
In der Aufgabe sind Eigenschaften einer Logarithmusfunktion zu untersuchen.
Lösung Teilaufgabe a)
Gegeben ist die Funktion mit maximalem Definitionsbereich . Bedingung für den maximalen Definitionsbereich ist, dass das Argument des Funktionsterms positiv ist.
Löse die Ungleichung:
Also gilt:
Zu untersuchen ist folgendes Grenzwertverhalten der Funktion:
a), also die Annäherung von rechts an ?
b), also das Verhalten für beliebig große ?
Es gilt:
a)
b)
Ergebnis:
Am linken Rand des Definitionsbereichs geht die Funktion gegen plus Unendlich, nach rechts geht sie gegen minus Unendlich.
Lösung Teilaufgabe b)
Setze den Funktionsterm gleich Null und löse die Gleichung.
Ergebnis:
ist die gesuchte Nullstelle.
Lösung Teilaufgabe c)
Der Graph kann insoweit "schrittweise" aus dem Graphen der Funktion entwickelt werden, als du am Term erkennen kannst, dass er durch zwei Verschiebungen und eine Spiegelung an der -Achse aus dem Term erhalten werden kann:
- Schritt: Verschiebe den Graphen von um längs der -Achse nach rechts.
- Schritt: Spiegle jetzt den erhaltenen Graphen an der -Achse.
- Schritt: Verschiebe den erhaltenen Graphen um längs der -Achse nach oben.
Der 1. Schritt der Transformation ändert das Monotonieverhalten der ln-Funktion nicht. Der Graph bleibt monoton steigend.
Im 2. Schritt wird aus aus dem steigenden Graphen ein monoton fallender.
Der 3. Schritt ändert das Monotonieverhalten nicht.
Ergebnis:
ist monoton fallend.
Nicht verlangter Zusatz:
Der 1. Schritt der Transformation erbringt den neuen Definitonsbereich , der mit den beiden nächsten Schritten nicht mehr verändert wird.
Überzeuge dich im nachfolgenden Applet durch schrittweises Ändern der drei Schieberegler ,von der Möglichkeit die Funktion schrittweise in die Funktion überzuführen.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Verallgemeinerung der Aufgabenstellung
Die Aufgabenstellung ist ein Sonderfall allgemeinerer sogenannter "Transformationen", bei denen ein gegebener Graph mit dem Term an den Koordinatenachsen gespiegelt, gestreckt, gestaucht oder beliebig im Koordinatensystem verschoben wird.
Die Paramter haben dabei ablesbare Bedeutungen:
positiv/negativ: Verschiebung nach links/rechts.
kleiner/größer : Streckung/Stauchung längs der -Achse. Falls negativ: zusätzlich Spiegelung an der -Achse.
kleiner/größer : Stauchung/Streckung längs der -Achse. Falls negativ: zusätzlich Spiegelung an der -Achse.
positiv/negativ: Verschiebung nach oben/unten.
In der gestellten Aufgabe gilt: .
Die allgemeine Aufgabenstellung findet vor allem Anwendung bei Sinusfunktionen.
Lösung Teilaufgabe d)
Die gegebene Funktion
ist eine der Stammfunktionen von , wenn ihr Ableitungsterm ergibt.
Bilde :
Damit ist gezeigt, dass eine Stammfunktion von ist.
Alle Stammfunktionen von werden erfasst durch:
Setze den Punkt in ein und löse die Gleichung nach auf:
Ergebnis:
Die Stammfunktion mit dem Term hat für eine Nullstelle.