Die Punkte , und liegen in der Ebene .
a)
(4 BE)
Bestimmen Sie eine Gleichung von in Normalenform.
b)
(1 BE)
Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von mit der -Achse an.
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Lösung Teilaufgabe a)
Vorüberlegungen
Die gesuchte Normalenform der Ebene kannst du in Vektor- oder Koordinatendarstellung angeben.
So erhältst du sie:
- Bilde zwei linear unabhängige Richtungsvektoren der Ebene. Z.B. die Differenzvektoren und .
- Erstelle durch das Kreuzprodukt einen Normalenvektor zur Ebene.
- Setze das Skalarprodukt eines Differenzvektors mit gleich Null. ( ist ein beliebiger Aufpunkt und ein variabler Punkt von .)
Durchführung
1.Zwei linear unabhängige Richtungsvektoren
Die Punkte , , ergeben:
2.Kreuzprodukt für einen Normalenvektor
Der Vektor ist also ein Normalenvektor der Ebene .
Anmerkung:
Das Vorziehen des Faktors hat lediglich den "Schönheitsaspekt", dass der ab jetzt verwendete Normalenvektor nur ein Minuszeichen besitzt. Jedes Vielfache eines Normalenvektors steht auch auf der Ebene senkrecht und ist somit ebenfalls ein Normalenvektor.
3.Aufstellen der Ebenengleichung
Die Aufgabenstellung lässt dir die Wahl, ob du die gesuchte Normalenform der Ebenengleichung in Vektorform oder in Koordinatendarstellung angeben willst.
a) Vektorform mit Aufpunkt
Setze gleich Null.
Setze für den Punkt seinen Ortsvektor und die Vektorkoordinaten von ein.
Dies ist die gesuchte Ebene. Du kannst sie durch Ausmultiplizieren des Skalarproduktes auch noch in die Koordinatendarstellung bringen.
b) Ansatz für in Koordinatendarstellung
Mit dem Normalenvektor und einem beliebigen Punkt der Ebene, z.B. (es muss nicht wieder der Punkt sein) kannst du so ansetzen:
Setze den Punkt ein und löse nach auf.
Also:
Lösung Teilaufgabe b)
Ein beliebiger Punkt der -Achse hat die Koordinaten .
Setze in die Normalengleichung von ein und berechne .
Die Ebene schneidet die -Achse im Punkt .