Gegeben ist die Kugel mit Mittelpunkt M(1|4|0) und Radius 6.
a)
(3 BE)
Bestimmen Sie alle Werte , für die der Punkt P(5|1|p) auf der Kugel liegt.
b)
(2 BE)
Die Gerade g berührt die Kugel im Punkt B(-3|8|2). Ermitteln Sie eine mögliche Gleichung von g.
Lösung anzeigen
Lösung Teilaufgabe a)
Du hast zwei Möglichkeiten zur Lösung der Aufgabe:
- Ein Punkt liegt genau dann auf einer vorgegebenen Kugel, wenn sein Abstand zum Mittelpunkt gleich dem Radius ist. Wenn du diese Bedingung verwendest, brauchst du keine Kugelgleichung.
- Du kannst aber als alternative Lösung auch erst die Kugelgleichung aufstellen und in diese die Koordinaten von einsetzen.
Lösung mit Hilfe der Abstandsbedingung
Der Punkt liegt genau dann auf der Kugel mit dem Mittelpunkt und Radius , wenn der Abstand von zu gleich dem Radius ist.
Den Abstand der beiden Punkte berechnest du als den Betrag des Verbindungsvektors beider Punkte:
Bestimme den Verbindungsvektor als Differenzvektor der beiden Ortsvektoren minus .
Verwende die Formel für den Betrag eines Vektors.
Setze und löse die Gleichung nach auf.
Es gibt zwei gesuchte Punkte auf der Kugel: und .
Alternativ: Lösung mit Hilfe der Kugelgleichung
Du kannst auch so vorgehen:
Stelle die Gleichung der Kugel auf und setze den Punkt in die Gleichung ein. Löse die erhaltene Gleichung nach auf.
Für eine Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius gilt die Gleichung:
Setze die Koordinaten von und den Radius ein.
Wenn P auf der Kugel liegen soll, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. Setze sie ein und löse die Gleichung für .
:
Lösung Teilaufgabe b)
Vorüberlegungen zur Lösung
Hier findest du eine nicht gerade alltägliche Aufgabenstellung:
Die Formulierung "Ermitteln Sie eine mögliche Gerade " lässt vermuten, dass die Aufgabe nicht nur eine Lösung hat. Mit anderen Worten: Es gibt möglicherweise mehrere Geraden, die der Aufgabenstellung entsprechen.
Du wirst also eine "Auswahl" haben und eine solche treffen müssen. (Mathematisch sagt man dazu auch: Die Aufgabe enthält einen oder gar mehrere "Freiheitsgrade".)
Anschaulich kannst du dir überlegen:
Wenn eine Gerade eine Kugel in einem Kugelpunkt berührt, dann liegt sie in der Tangentialebene dieses Punktes. Und es gilt umgekehrt: Jede Gerade in der Tangentialebene, die durch diesen Punkt verläuft, berührt die Kugel.
In der nebenstehenden Skizze erkennst du, dass alle vier Geraden bis Lösungen der Aufgabe sind.
Die einzige Bedingung, die eine Gerade erfüllen muss, damit sie die Kugel mit dem Mittelpunkt im Punkt berührt, ist, dass der Richtungsvektor auf dem Vektor senkrecht steht. D.h. dass gilt: .
Durchführung der Vorüberlegungen
Überprüfe zunächst, ob der Punkt tatsächlich ein Punkt der Kugel ist:
Tatsächlich gilt:
und somit ist .
Erstelle die Parametergleichung einer Geraden durch den Punkt mit einem beliebigen Richtungsvektor .
Anmerkung:
können beliebige reelle Zahlen sein. Nur nicht alle drei gleichzeitig , d.h. es gilt: . wäre dann ja der Nullvektor und dieser ist kein Richtungsvektor.
Bilde das Skalarprodukt von mit und setze es gleich Null.
In dieser Gleichung (3 Unbekannte!) gibst du dir für zwei der drei Größen beliebige Werte vor (Du hast also zwei "Freiheitsgrade"!).Z.B.: und und berechnest .
Gib die gefundene Gerade an:
Eine der möglichen Geraden, die die Kugel im Punkt berührt, hat die Gleichung .
Alternativ: Lösung mit Hilfe der Kugel- und der Tangentialebenengleichung
Die Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius hat die Gleichung
und mit der Formel für die Tangentialebene im Punkt erhältst du die Tangentialebene
.
Ausmultipliziert und zusammengefasst ergibt dies folgende Normalengleichung der Tangentialebene:
.
Natürlich gilt: .
Jetzt suchst du einen weiteren von verschiedenen beliebigen Punkt in der Ebene.
Zum Beispiel den Punkt , für den du die -Koordinate und die -Koordinate mit Null wählst: .
in eingesetzt ergibt:.
Nachdem P und B beide in der Ebene liegen, ist der Vektor einer der möglichen Richtungsvektoren der Geradengleichung.
Die Gerade ist dann eine weitere der gesuchten Geraden, die die Kugel im Punkt berührt.