1.0 Die Glocken-Apotheke bietet ihren erkälteten Kunden Hustensaft (H), Kopfschmerztabletten (K) und Nasenspray (N) an, wobei jeder entsprechende Kunde mindestens eines dieser Produkte erwirbt. Im Folgenden werden nur diese drei Medikamente betrachtet. Aus Erfahrung weiß der Apotheker, dass unabhängig voneinander 25% der Kunden einen Hustensaft erwerben und jeder fünfte Kunde Kopfschmerztabletten kauft. Kunden kaufen zu 60% auch ein Nasenspray, wenn sie mindestens eines der anderen Medikamente erwerben. Der Einkauf eines beliebig herausgegriffenen Kunden wird als Zufallsexperiment aufgefasst.
1.1 Erstellen Sie ein vollständiges Baumdiagramm und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten aller 7 Elementarereignisse. (5 BE)
[Teilergebnis: ]
1.2 Gegeben seien folgende Ereignisse:
: „Ein zufällig ausgewählter Kunde kauft keine Kopfschmerztabletten.“
: „Es wird Nasenspray und mindestens ein weiteres Produkt gekauft.“
Geben Sie diese Ereignisse in aufzählender Mengenschreibweise an. Beschreiben Sie möglichst einfach in Worten und berechnen Sie . (5 BE)
1.3.0 Der Apotheker bietet seinen Kunden nur Hustensaft der Marken A und B an. Von 500 Hustensaftkäufern entscheiden sich 400 für den Hustensaft A. Bei 280 der Kunden, die Hustensaft A kaufen, tritt eine Verbesserung der Symptome ein. Von den Käufern der Hustensaftmarke B geben 30 an, dass keine Verbesserung der Symptome auftritt.
1.3.1 Stellen Sie für den beschriebenen Sachverhalt eine vollständige Vierfeldertafel auf, überprüfen Sie, ob die Ereignisse
A: „Ein Kunde kauft Hustensaft der Marke A.“ und
V: „Es tritt eine Verbesserung der Symptome auf.“
stochastisch unabhängig sind und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik. (5 BE)
1.3.2 Berechnen Sie . (2 BE)
Lösung anzeigen
Lösung zur Teilaufgabe 1.1
Für diese Aufgabe solltest du wissen, wie ein Baumdiagramm aufgebaut ist und was die Pfadregeln sind.
Herleitung Baumdiagramm
Die ausführliche Herleitung des Baumdiagramms ist durch mehrere erklärende Bilder lang geworden und findet sich deswegen in dem Spoiler.
Ausführliche Herleitung des passenden Baumdiagramms
Wichtig ist hier, dass du bei jedem Produkt zwischen "das Produkt wird gekauft" und "das Produkt wird nicht gekauft" unterscheiden musst und nicht alle Produkte von einem Knotenpunkt ausgehend hinzeichnest. Das kannst du daran erkennen, dass keine feste Anzahl von Produkten gekauft wird (oder wenn du einen Blick auf das mögliche Teilergebnis wirfst).
Entscheidend ist, dass das Nasenspray (N) erst im dritten Schritt aufgemalt wird, da die Wahrscheinlichkeit für den Kauf eines Nasensprays von dem Kaufverhalten bei Hustensaft (H) und Kopfschmerztabletten (K) abhängt. Die Reihenfolge von H und K könnte auch vertauscht werden, die hier gezeigte Variante passt allerdings zum möglichen Teilergebnis.
Achte außerdem darauf, dass der Ast, bei dem kein Produkt gekauft wird, kein gültiger Ast ist, weil in der Aufgabenstellung steht, dass mindestens ein Produkt gekauft wird.
Als nächstes kannst du die Wahrscheinlichkeiten dem Text entnehmen:
- Hustensaft: , also und als Gegenwahrscheinlichkeit
- Kopfschmerztabletten: jeder Fünfte (und unabhängig vom Kauf eines Hustensafts, also im linken wie im rechten Block), also und als Gegenwahrscheinlichkeit
Nun kannst du die Wahrscheinlichkeiten für und ergänzen. Diese beträgt für , wenn vorher schon ein Produkt gekauft wurde, das heißt überall außer ganz rechts ist die Wahrscheinlichkeit für und die Gegenwahrscheinlichkeit .
Ganz rechts ist die Wahrscheinlichkeit für , da ein Produkt gekauft werden muss. Also ist die Wahrscheinlichkeit für in diesem Fall .
Und die Lösung mit nur einem Ast ganz rechts sieht dann so aus:
Mögliche Lösung für das Baumdiagramm
Berechnung der Teilwahrscheinlichkeiten
Diese kannst du mithilfe der Pfadregeln berechnen:
Lösung zur Teilaufgabe 1.2
: „Ein zufällig ausgewählter Kunde kauft keine Kopfschmerztabletten.“
Du bist also auf der Suche nach allen Ergebnissen, wo ein vorkommt. Das ist bei folgenden Ergebnissen der Fall:
: „Es wird Nasenspray und mindestens ein weiteres Produkt gekauft.“
Du bist also auf der Suche nach allen Ergebnissen, wo ein und , oder beides vorkommt. Das ist bei folgenden Ergebnissen der Fall:
Um es dir einfacher zu machen, kannst du hier die Regel von De Morgan anwenden, um umzuformen:
Deswegen sucht du alle Ergebnisse, die gleichzeitig in Ereignis , aber nicht in Ereignis sind (es muss beides gleichzeitig stimmen, weil du die Schnittmenge suchst).
Das ist bei folgenden Ergebnissen der Fall:
Möglichst einfache Formulierung
Für eine möglichst einfache Formulierung schaust du dir am besten die beiden Ergebnisse genauer an. Vielleicht fällt dir dabei auf, dass in beiden Fällen zweimal ein "Nicht" vorkommt. Bei beiden Ergebnissen wird also genau ein Medikament eingekauft, beim ersten nur Hustensaft und beim zweiten nur Nasenspray. Eine mögliche Formulierung könnte deshalb lauten:
Es wird entweder nur Hustensaft oder nur Nasenspray gekauft.
Wahrscheinlichkeit von
Die Wahrscheinlichkeit von kannst du nach den Pfadregeln berechnen. Unterschiedliche Pfade müssen dabei addiert werden:
Nun kannst du die Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe 1.1 einsetzen.
Die Wahrscheinlichkeit für beträgt .
Lösung zur Teilaufgabe 1.3.1
Für diese Teilaufgabe musst du dich mit Vierfeldertafeln und mit stochastischer Unabhängigkeit auskennen.
Vierfeldertafel
Du zeichnest zuerst eine leere Vierfeldertafel mit den beiden Ereignissen, die in der Aufgabenstellung angegeben sind. Anschließend kannst du die schwarzen Werte aus dem Text entnehmen und schließlich die roten Werte über Additionen und Subtraktionen ausrechnen, wie das genau funktioniert, wird im Artikel zu Vierfeldertafeln erklärt.
Nun kannst du eine Vierfeldertafel mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten erstellen, indem du den Wert in jeder Zelle durch die Gesamtzahl teilst. Vielleicht hast du auch direkt diese Vierfeldertafel erstellt:
Stochastische Unabhängigkeit
Überprüfung
Um zu überprüfen, ob zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, musst du folgende Formel nachrechnen. Stimmt sie (auf beiden Seiten erhältst du dasselbe Ergebnis), dann sind sie unabhängig.
kannst du in der Vierfeldertafel ablesen:
Auch die Werte für und kannst du ablesen und danach kannst du das Produkt ausrechnen:
Damit stimmt die Formel und die beiden Ereignisse sind stochastisch unabhängig.
Bedeutung im Sachzusammenhang
Die Verbesserung der Symptome hängt nicht von der Wahl des Medikaments ab. Sie ist bei Hustensaft A genauso gut wie bei Hustensaft B.
Lösung zur Teilaufgabe 1.3.2
Für die Berechnung von solltest du den Satz von Sylvester kennen.
Lies die Wahrscheinlichkeiten in der Vierfeldertafel ab.
Das Ergebnis von beträgt .