(In Anlehnung an das Fachabitur T12 2022 in Bayern)
Das Brennen von Keramik erfolgt oft bei Temperaturen über 800°C. Die Temperatur im Ofen im Laufe des Brennvorgangs wird durch die sogenannte "Brennkurve" beschrieben. Die folgende Funktionsgleichung beschreibt in guter Näherung eine solche "Brennkurve" für einen Brennvorgang, der insgesamt 23 Stunden dauert:
mit
Die verstrichene Brenndauer t wird dabei in Stunden ab Beginn des Brennvorgangs zum Zeitpunkt angegeben, die Temperatur im Ofen in Grad Celsius (°C).
Auf das Mitführen von Einheiten während der Berechnung kann verzichtet werden. Endergebnisse sind samt Einheit zu notieren. Zeitpunkte sind in Stunden auf zwei Nachkommastellen und Temperaturwerte in Grad Celsius ganzzahlig zu runden.
Bestimmen Sie den Zeitraum der Aufheizphase, in der die Temperatur im Brennofen ansteigt
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Da der Graph die Temperatur in Abhängigkeit von der vergangenen Zeit beschreibt, suchst du hier das Intervall, in dem der Graph steigt, die Temperatur also zunimmt. (Falls es mehrere geben sollte, suchst du das erste innerhalb der Definitionsmenge)
Du untersuchst also die Monotonie:
- 1. Ableitung bilden
- Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen
- Monotonietabelle zeichnen
1. Ableitung bestimmen
Bilde die erste Ableitung, mit der du das Steigungsverhalten (Monotonieverhalten) des Graphen beschreiben kannst:
Ableiten:
Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen
Die Stellen, an denen sich das Monotonieverhalten ändern kann, sind die Stellen mit waagerechten Tangenten, also der Steigung 0. Deshalb suchst du die Nullstellen der Ableitung:
Da der Grad der Funktion 3 ist und man nicht ausklammern kann, brauchst du die Polynomdivision.
Die erste Nullstelle musst du durch Probieren ermitteln. Eine Nullstelle findet man hier bei . Diese Nullstelle liegt zwar selbst nicht im Definitionsbereich , aber kann zur Polynomdivision trotzdem verwendet werden:
Nun kannst du die Mitternachtsformel verwenden:
liefert und
Nur die Nullstelle ist im Definitionsbereich und muss weiter betrachtet werden.
Monotonietabelle
Unter Verwendung von ergibt sich die Monotonietabelle
0<x<11,76 | x=11,76 | 11,76<x<23 | |
|---|---|---|---|
Vorzeichen | + | 0 | - |
Verlauf | sms | HOP |
Die Aufheizphase dauert vom Messbeginn an ca 12 Stunden (genauer 11,76 Stunden).
Damit das Brenngut keinen Schaden nimmt, darf während der Aufheizphase die momentane Änderungsrate der Temperatur höchstens 115°C pro Stunde betragen. Untersuchen Sie, ob diese Bedingung erfüllt wird.
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Die momentane Änderungsrate wird durch die 1. Ableitung dargestellt. Du möchtest also herausfinden, ob der Wert der Ableitung während der Aufheizphase die 115°C nicht übersteigt:
Da die entstandene Ungleichung aber aufgrund des Grades 3 unschön bis nicht lösbar wäre, kannst du auch überprüfen, ob die Stelle stärkster (Temperatur-) Zunahme die Bedingung erfüllt.
Du suchst also die Maximalwerte (=Hochpunkte) der Ableitung.
Beachte, dass diese aufgrund des eingeschränkten Definitionsbereichs auch am Rand liegen können!
Die Extremstellen der 1. Ableitung erhältst du, indem du die Nullstellen der 2. Ableitung findest und untersuchst.
2. Ableitung bilden
Mit ergibt sich für die 2. Ableitung:
Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen
Löse mit der Mitternachtsformel:
liefert und (beide in D)
Beide Nullstellen von haben die Vielfachheit 1, deshalb liegen an beiden Stellen Extremstellen von .
Art der Extremstellen
Die Art der Extremstellen ist nicht zwingend zur Beantwortung der Aufgabe nötig, weshalb du sie hier nur als Zusatz siehst:
Bestimme die Art der Extremstellen zum Beispiel mit der 3. Ableitung (alternativ: Monotonietabelle)
3. Ableitung:
Einsetzen von und :
HOP
TIP
Lage der Extremstellen von
Setze die gefundenen und in ein, um die Temperaturzu- bzw. abnahme zu bestimmen und mit dem Wert 115°C pro Stunde zu vergleichen.
Fazit
Da die höchste Änderungsrate 114°C pro Stunde beträgt, wird die Anforderung eingehalten.
Zusatz: Stärkste Zu- und Abnahme
An den Rändern des Definitionsbereichs hat die momentane Änderungsrate kleinere Werte als an den Extrempunkten. Daraus folgt:
Bei 4,67 Stunden ist die Temperaturzunahme im Definitionsbereich maximal, es handelt sich also um eine Stelle stärkster Zunahme.
Bei 18,83 Stunden ist die Temperaturabnahme im Definitionsbereich maximal, es haldelt sich also um eine Stelle stärkster Abnahme.
Bei Temperaturen im Ofen von 1400°C und mehr müssen besonders hitzebeständige Tragegestelle für die Keramikteile verwendet werden. Entscheiden Sie mithilfe einer Rechnung, ob ein besonders hitzebeständiges Tragegestell verwendet werden muss.
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Hier geht es wieder um die tatsächliche Temperatur zu einem bestimmten Zeitpunkt und nicht um die Temperaturzunahme.
Mithilfe der Ergebnisse aus der ersten Teilaufgabe kann man schnell überprüfen, ob die Maximaltemperatur 14000°C übersteigt, indem man die Lage des Extrempunktes bestimmt.
Bei hat der Graph seinen Hochpunkt und somit der Ofen seine maximale Temperatur.
Diese beträgt und ist somit unter der Temperatur von 1400°C.
Es wird also kein spezielles Tragegeschirr benötigt.
Zeichnen Sie den Graphen von für in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: t-Achse: 2 Stunden 1 cm und (t)-Achse: 100°C 1 cm.
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Achte auf den Definitionsbereich und halte die Grenzen ein.
Außerdem ist eine besondere Achsenskalierung vorhanden.
Den Hochpunkt solltest du aus deinen bereits bestimmten Ergebnissen ebenfalls einzeichnen.
