Gib für folgende Funktionen die maximale Definitionsmenge an .
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Setze den Nenner gleich 0.
Berechne die Diskriminante.
Wende nun die Mitternachtsformel an.
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Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Vorüberlegung
Die Funktion ist genau für diejenigen definiert, für die der Radikand im Zähler größer gleich ist UND der Radikand im Nenner größer als ist.
Nullstellen von
Faktorisiere mit dem Verfahren von Vieta oder der binomischen Formel:
doppelte Nullstelle bei
Da der Graph der Funktion eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel auf der x-Achse liegt, ist sie für alle größer gleich 0.
Nullstellen von
keine Nullstellen
Hier zeigt die Berechnung der Diskriminanten, dass die Funktion keine reellen Nullstellen besitzt.
Da der Graph der Funktion eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel oberhalb der x-Achse liegt, ist sie für alle positiv.
Interpretation
Da sowohl für als auch die Bedingung aus der Vorüberlegung für alle erfüllt ist, gilt:
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Vorüberlegung
Der Exponent steht für die Quadratwurzel. Demnach ist die Funktion genau für diejenigen definiert, für die größer gleich ist UND die Funktion im Nenner ungleich ist.
Nullstellen von
Die Nullstelle der linearen Funktion lässt sich durch einfaches Auflösen nach x bestimmen.
Umformung: + 9
Umformung: \colon 4
Da der Graph der Funktion eine Gerade mit positiver Steigung ist, nimmt für alle Werte größer gleich an.
Nullstellen von
Die Nullstelle der linearen Funktion lässt sich durch einfaches Auflösen nach x bestimmen.
Umformung: +8x
Umformung: \colon 8
Interpretation
Da die Bedingungen an und aus der Vorüberlegung genau für alle erfüllt sind, gilt:
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Vorüberlegung
Die Funktion ist genau für diejenigen definiert, für die größer gleich ist.
Nullstellen von
Hier lässt sich mit dem Verfahren von Vieta oder der binomischen Formel faktorisieren.
doppelte Nullstelle bei
Da der Graph der Funktion g eine nach unten geöffnete Parabel (negativer Koeffizient vor höchster x-Potenz) mit Scheitel auf der x-Achse ist, nimmt g nur für einen nicht-negativen Wert an.
Interpretation
Nach der Vorüberlegung gilt:
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Nenner darf nicht 0 werden Nenner gleich 0 setzen.
Umformung: +2
Umformung: \cdot 2
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Der Nenner darf nicht werden, setze diesen also gleich 0.
Hier kannst du die Mitternachtsformel verwenden oder die Funktion mit der 3. Binomischen Formel umgehen.
Zunächst betrachtet man den (linearen) Term in der ersten Klammer.
1.Nullstelle:
Umformung: + \frac12
Umformung: \cdot \frac32
Nun betrachtet man den (linearen) Term in der zweiten Klammer.
2.Nullstelle
Umformung: - \frac12
Umformung: \cdot \frac32
Damit gilt:
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Nenner darf nicht 0 werden, setze diesen also gleich 0.
Hier lässt sich die 2. Binomische Formel anwenden.
Also gilt:
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Der Nenner darf nicht werden, setze ihn also gleich 0.
Um das zu lösen, kannst du die Mitternachtsformel verwenden oder die Funktion mit dem Verfahren von Vieta oder der binomischen Formel faktorisieren.
doppelte Nullstelle bei
Also gilt:
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Setze den Nenner gleich 0:
Umformung: + 5x^2
Umformung: \colon5
Umformung: \sqrt{}
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Setze den Nenner gleich 0.
Damit kannst du die erste Nullstelle ablesen, für die anderen betrachtest du die Klammer:
Umformung: +\frac14
Umformung: \sqrt{}
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Setze den Nenner gleich 0.
Überlege dir folgendes: Die gewöhnliche Sinus-Kurve schneidet die x-Achse genau bei allen Vielfachen von .
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Der Nenner () darf nicht werden, überlege dir also für welche er 0 werden würde.
Also gilt:
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Der Nenner () darf nicht werden, überlege dir für welche er diesen Wert annehmen würde:
Umformung: + \sin(x)
Umformung: \colon \cos(x)
Hier darfst du durch den Cosinus teilen, da es kein x gibt, für das cos(x) und sin(x) beide 0 sind.
Sinus geteilt durch Cosinus entspricht dem Tangens.
Also gilt:
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Die Definitionslücken sind die Nullstellen des Nenners, setze diesen also gleich 0.
Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
1.Möglichkeit:
2.Möglichkeit:
Umformung: + 4
Umformung: \colon 9
Also gilt:
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Definitionslücken sind die Nullstellen der Nenner.
Umformung: +6
Umformung: -1
Umformung: \colon 6
Also gilt: