Wolfgang hat 12 Socken in einer Schublade, 6 rote und 6 schwarze. Er nimmt nun zufällig 2 aus der Schublade.
Bestimme:
Die Anzahl aller Möglichkeiten, wenn man alle 12 Socken unterscheiden kann.
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Die Anzahl der Möglichkeiten 2 Socken aus 12 zufällig zu ziehen entspricht genau dem Binomialkoeffizienten .
Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.
Schreibe die Fakultäten aus.
Kürze identische Zahlen.
Die Anzahl der Möglichkeiten für 2 gleichfarbige Socken.
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Die Anzahl der Möglichkeiten 2 gleiche Socken zu ziehen entspricht der Anzahl der Möglichkeiten für 2 rote Socken und 2 schwarze Socken. Von beiden sind 6 in der Schublade, das bedeutet du ziehst zwei mal "2 aus 6".
Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.
Schreibe die Fakultäten aus.
Kürze identische Zahlen.
Alternativer Lösungsweg
Berechne . Hier ziehst du zuerst "1 aus 12" Socken, wobei egal ist welche Farbe diese hat. Danach ziehst du "1 aus 5" der übrigen gleichfarbigen Socken. Hierbei wurde die Reihenfolge der Socken beachtet und deswegen jedes Paar doppelt gezählt. Da in diesem Fall aber die Reihenfolge keine Rolle spielt, musst du anschließend durch 2 teilen.
Die Wahrscheinlichkeit für 2 gleiche Socken.
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Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "2 gleiche Socken" entspricht der Anzahl der Möglichkeiten 2 gleiche Socken zu ziehen (b) geteilt durch die Anzahl aller Möglichkeiten (a).
Die Wahrscheinlichkeit für 2 verschiedenfarbige Socken.
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Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "2 ungleiche Socken" entspricht der Anzahl der Möglichkeiten 2 ungleiche Socken zu ziehen geteilt durch die Anzahl aller Möglichkeiten (a).
Die Anzahl der Möglichkeiten, 2 ungleiche Socken zu ziehen entspricht der Anzahl der Möglichkeiten für 1 rote Socke und 1 schwarze Socke. Von beiden sind 6 in der Schublade, das bedeutet du ziehst "1 aus 6" und danach nochmal "1 aus 6".
Die Anzahl aller Möglichkeiten ist 66 (Teilaufgabe a). Dies bedeutet für die Wahrscheinlichkeit.
Alternativer Lösungsweg nach Teilaufgabe (c)
Die Wahrscheinlichkeit für 2 ungleiche Socken entspricht der Gegenwahrscheinlichkeit für 2 gleiche Socken. Dies bedeutet beide Wahrscheinlichkeiten ergeben addiert 1.
In diesem Fall ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit also .