Die Fakultät ist eine Schreibweise für das Produkt aller Zahlen . Sie wird vor allem in der Kombinatorik oft verwendet, weil die Fakultät die Anzahl der Möglichkeiten angibt, eine beliebige Menge mit Elementen zu ordnen. So gibt es Möglichkeiten, wie sich drei Personen für ein Foto aufstellen können.
Definition
Als Fakultät einer natürlichen Zahl bezeichnet man das Produkt der Zahlen von bis :
Außerdem ist festgelegt, dass .
Warum ist 0!=1
Nach der Definition erfüllt die Fakultät die Eigenschaft . Damit ist und diese Formel können wir benutzen, um zu berechnen
Einfache Beispiele
Eingebetteter Serlo-Inhalt
Anwendungen in der Kombinatorik
Permutationen
Die Fakultät einer Zahl berechnet die Anzahl der Permutationen einer n-Elementigen Menge. Sie gibt also die Anzahl der Möglichkeiten an, eine Menge mit Elementen zu sortieren.
Beispiel
Du hast mit bis durchnummerierte Kugeln.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese in eine Reihe zu legen?
Lösung:
Für die erste Stelle: verfügbare Kugeln Möglichkeiten
Für die zweite Stelle: verfügbare Kugeln Möglichkeiten
Für die dritte Stelle: verfügbare Kugeln Möglichkeiten
Für die vierte Stelle: verfügbare Kugeln Möglichkeiten
Für die fünfte Stelle: verfügbare Kugeln Möglichkeit
Insgesamt Möglichkeiten.
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten wieder, Elemente aus einer Menge mit Elementen zu ziehen. Der Binomialkoeffizient kann mit Hilfe der Fakultät berechnet werden:
Beispiel
Für das deutsche Glücksspiel "Lotto aus " kann über den Binomialkoeffizienten die Anzahl der möglichen Ziehungen bestimmt werden:
Beispielaufgaben
1.
Eingebetteter Serlo-Inhalt
2.