Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, mit der man Aufgaben aus der Kombinatorik lösen kann.
Ein bekanntes Beispiel ist das Lotto, das man auch "6 aus 49" nennt und das nicht ohne Grund. Man zieht nämlich 6 unterscheidbare Kugeln aus einer Urne mit 49 Kugeln, ohne auf die Reihenfolge zu achten. Die Anzahl der Kombinationen ergibt sich zu:
.
Formel des Binomialkoeffizienten
In der Kombinatorik wird diese Formel sehr oft verwendet, weshalb man diese Kurzschreibweise eingeführt hat.
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Lotto - 6 aus 49
Die Ziehung von 6 aus 49 ist ein Glücksspiel mit hohem Gewinn, doch ob sich eine Teilnahme erwartungsgemäß lohnt, hängt von der Wahrscheinlichkeit ab, mit der man gewinnt. Damit einher geht die Frage: wie viele Kombinationen gibt es?
- Für die erste Kugel wird aus einer Urne mit Kugeln gezogen.
- Die erste Kugel wird nicht zurückgelegt, womit für die zweite Ziehung Kugeln verbleiben.
- Die dritte Kugel wird aus einer Urne mit Kugeln gezogen.
- ...
- Die sechste Kugel wird aus Kugeln ausgewählt.
Für die Gesamtmöglichkeiten ergeben sich zunächst:
Möglichkeiten. Die absteigende Multiplikation dieser hintereinander folgenden Zahlen wird durch eine Fakultät () ausgedrückt, wobei hier nicht richtig wäre.
Ein bisschen Zauberei...
Man bedient sich eines Tricks und bildet einen Bruch, wobei mit den Faktoren erweitert wird.
Sowohl der Zähler, als auch der Nenner können als Fakultät formuliert werden:
Das Problem mit den Reihenfolgen
Ein Problem blieb bis jetzt jedoch unausgesprochen. Die Überlegung, dass man für die erste Ziehung Möglichkeiten, für die zweite usw. hat, schließt verschiedene Reihenfolgen mit ein.
Somit würden in unserer Rechnung Kombinationen wie:
oder
extra mit eingerechnet werden, obwohl das beim Lotto keinen Unterschied macht. Wir müssen unseren Term also noch um die Möglichkeiten reduzieren, die Zahlen in unterschiedlichen Reihenfolgen aufzählen.
Es gibt Möglichkeiten, wie ein Zahlentupel in unterschiedlichen Reihenfolgen dargestellt werden kann. Damit ergibt sich zuletzt für die Gesamtzahl der Kombinationen:
Verallgemeinerung
Der letzte Term kann auf allgemeine kombinatorische Probleme verallgemeinert werden, wenn die Gesamtzahl der Kugeln (hier ), mit bezeichnet wird und die Anzahl der Ziehungen (hier ), mit . Damit ergibt sich:
Sprechweisen für den Binomialkoeffizienten
Es gibt zwei Sprechweisen, die etwa gleich gebräuchlich sind, deshalb sollte man beide kennen. nennt man:
- „n über k“
- „k aus n“ (intuitiver, da berechnet, wie viele Möglichkeiten es gibt Kugeln aus einer Urne mit Kugeln zu ziehen)
Berechnung des Binomialkoeffizienten
Ein einfacher Weg, einen Binomialkoeffizienten zu berechnen, besteht in folgender Herangehensweise:
- Notiere die Fakultät von k unter dem Bruchstrich.
- Notiere das Produkt der gleichen Anzahl von absteigenden Zahlen im Zähler.
Beispiel:
Begründung an einem Beispiel:
Man erkennt ganz gut, dass sich die Faktoren sowohl im Zähler, als auch im Nenner finden und sie sich wegkürzen lassen.
Interaktive Visualisierung
Hier gibt es eine interaktive Visualisierung, die anschaulich zeigt, wie sich die Kombinationen "k aus n" ergeben.
Eigenschaften des Binomialkoeffizienten
- Der Binomialkoeffizient ist immer eine ganze Zahl größer oder gleich null.
- Falls folgt: . (Man kann nicht aus 49 Kugeln 50 ziehen.)
- Symmetrie:
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- Additionstheorem:
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Ersetze duch und durch :
Sonderfälle des Binomialkoeffizienten
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Pascalsches Dreieck
Die Werte der Binomialkoeffizienten kann man direkt am Pascalschen Dreieck ablesen.
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