Kowalskys Testaufgabe
Lösung von Gleichungen-Übersicht
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Lineare Gleichungdirekt auflösen Gleichung vom Typ Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Quadratische Gleichung pq-Formel oder Mitternachtsformel anwenden Biquadratische Gleichung Substitution und dann Lösung der erhaltenen quadratischen Gleichung mit anschließender Rücksubstitution
Quadratische Gleichung lösen
Löse die quadratische Gleichung .
Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für , und ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
, und
Setze , und ein.
Quadratische Gleichung lösen
Löse die quadratische Gleichung .
Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für , und ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
, und
Setze , und ein.
Klammere aus und kürze.
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a)
Berechnen Sie die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes.
Zeichne den Graphen von .
Finde mit TRACE den y-Wert zu
Somit beträgt die Konzentration nach einer Stunde noch rund
Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die Konzentration erstmals den Wert annimmt.
Zeichne zu dem Graphen von den Graphen von .
Finde den ersten Schnittpunkt der beiden Graphen:
Dabei ist in Stunden angegeben.
Stunden sind Minuten.
Also wird der Wert erstmals nach ca. 15 Minuten überschritten.
Bestimmen Sie, wie lange die Konzentration mindestens beträgt.
Zeichne zu dem Graphen von den Graphen von .
Finde die Schnittpunkte der beiden Graphen:
und (erneut in Stunden)
Um herauszufinden, wie lange die Konzentration im Blut mindestens beträgt, subtrahierst du die beiden Zeitpunkte voneinander:
.
Da für gilt, ist die Konzentration ungefähr Stunden mindestens groß.
b)
Die Gleichung hat für nur die Lösung .
Betrachte für das Vorzeichenwechselkriterium Ableitungswerte in der Nähe von , z.B. ist und . Es findet also ein VZW von statt. Also liegt ein Hochpunkt vor.
e) Für wird die Konzentration durch die Tangente an den Graphen von
im Punkt beschrieben:
mit und .
Die Nullstelle der Tangente entspricht dem gesuchten Zeitpunkt in Stunden.
hat die Nullstelle mit .
Also sinkt die Konzentration 9,3 Stunden nach der Einnahme auf .
g)
hat nur die Nullstelle .
Du suchst die Werte von für die der Wert des Integrals gleich oder ist.
Fall 1
Dann ist
Gegeben ist .
Dann ist und .
Definiere die Funktionen und .
Es gilt dann: oder
Bestimme die Schnittstelle von mit .
Du erhältst , d.h. .
Fall 2
Nun gilt: .
Verfahre wie im Fall 1:
Nun gilt .
Bestimme die Schnittstelle von mit .
Du erhältst , d.h. .
In einem Multiple-Choice-Test gibt es Aufgaben, bei denen man aus drei möglichen Lösungen die richtige ankreuzen muss. Felix hat sich nicht auf den Test vorbereitet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er trotzdem genau die Hälfte der Fragen richtig beantworten?
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Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die gegebenen Werte in die Formel der Binomialverteilung einsetzt:
Berechnet werden muss:
Die Lösung erfolgt mit dem TR CASIO fx-991 DE PLUS:
Drücke die Taste MODE. Es erscheint folgende Auswahl:
Wähle 4: DIST
Wähle 4: Binomial PD
Wähle 2: Var
Gib hier den Wert ein.
Gib hier den Wert ein.
Gib hier den Wert ein.
Nach Druck der "="-Taste erscheint das Ergebnis:
p=0,054259....
Zu beantwortet er genau die Hälfte der Fragen richtig.
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Wähle 7: Verteilfkt.
Wähle 4: Binomial-Dichte
Wähle 2: Variable
Gib hier den Wert , den Wert und den Wert ein.
Nach Druck der "="-Taste erscheint das Ergebnis:
p=0,054259....
Zu beantwortet er genau die Hälfte der Fragen richtig.
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Wähle , wähle und wähle .
Folge den Pfeilen und lies das Ergebnis ab.
Gegeben ist der Kreis . Durch den Punkt verläuft eine Gerade , die Tangente an den Kreis sein soll. Berechne die Funktionsgleichung der Geraden und den Berührpunkt .
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Tangentengleichung
Die allgemeine Geradengleichung lautet:
Setze die Koordinaten des Punktes ein.
Setze ein.
Umformung: +8m
Damit lautet die Geradengleichung
Zur Berechnung des Schnittpunktes zwischen der Geraden und dem Kreis setze in die Kreisgleichung ein.
Setze ein.
Umformung: -16
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du
nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) lösen.
Lies die Werte für , und ab.
, und
Setze die Werte für , und ein.
Für die Tangente muss gelten, dass sie nur einen Berührpunkt mit dem Kreis haben darf. Daher darf es nur eine Lösung der Mitternachtsformel geben.
Um nur eine Lösung für die Gleichung
zu erhalten, muss die Diskriminante gleich sein.
Löse die Klammern auf.
Fasse zusammen.
Löse die Klammer auf.
Umformung: +64
Vereinfache.
Umformung: :192
Löse nach auf.
Kürze.
Die Gleichung hat zwei Lösungen und
Es gibt also zwei Geraden, die vom Punkt aus Tangenten an den Kreis sind:
Berührpunkt
Wenn ist, dann gilt:
Setze ein:
Fasse zusammen.
Die -Werte der beiden Berührpunkte erhältst du, wenn in die Tangentengleichungen eingesetzt wird.
Die beiden Berührpunkte haben die Koordinaten und .
Graphische Darstellung
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
Welche Punkte sind Berührpunkte (ein Schnittpunkt mit einer gemeinsamen Tangente und die beiden Graphen kreuzen sich nicht im Schnittpunkt)?
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Punkt : Fall 1 transversales Schneiden
Punkt : Fall 3 Berührpunkt
Punkt : Fall 3 Berührpunkt
Punkt : Fall 3 Berührpunkt
Punkt : Fall 2 berührendes Schneiden
Punkt : Fall 1 transversales Schneiden
Punkt : Fall 3 Berührpunkt
Richtige Lösung: Berührpunkte sind die Punkte .
Gegeben ist ein Quader mit den Seiten , und .
Aus einer Quaderecke wird eine Pyramide herausgeschnitten. Die Schnitte verlaufen längs der Diagonalen der Seitenflächen.
a) Berechne jeweils die Flächeninhalte der vier Dreiecke , , und .
Hinweis: Verwende die Bezeichnungen von Bild 1 und Bild 3 und verwende für die Berechnung des Flächeninhalts von den Kosinussatz.
b) Weise nach, dass gilt.
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Lösung zu a)
Berechne die 4 Dreiecksflächen mit der Formel (Bild 1).
Für das . Dreieck müssen zuerst die Seiten berechnet werden (Bild 3)
Weiterhin gilt:
Bild 3:
rechtes Dreieck
linkes Dreieck
Gleichsetzen ergibt:
Setze ein.
Löse die Klammer auf, verwende eine binomische Formel.
Löse die Klammer auf.
Umformung: +t_1^2
Löse nach auf.
Umformung: -s^2
Umformung: +t^2
Umformung: :2t
Setze die berechneten Werte in ein:
Die Strecke beträgt . Damit kann die Höhe des Dreiecks berechnet werden.
Lösung zu b)
Setze die berechneten Werte in die Gleichung ein:
Setze die berechneten Werte ein.
Damit hast du gezeigt, dass ist.
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Lösung zu a)
Berechne die Dreiecksflächen mit der Formel (Bild 1).
Für das . Dreieck müssen zuerst die Seiten berechnet werden (Bild 3)
Weiterhin gilt
Setzt man die Höhe in die Flächenformel ein, folgt:
Berechne z.B. den Winkel mithilfe des Kosinussatzes:
Umformung: -r^2-t^2
Löse nach auf.
Umformung: :(-2\cdot r\cdot t)
Du hast die Gleichung erhalten.
Setze nun die berechneten Werte ein:
Setze , , , und ein.
In der Flächenformel tritt der auf. Der Kosinussatz liefert aber einen Wert für . Ersetze in der Flächenformel den durch .
Mit dem berechneten Wert für folgt dann:
Setze ein
Berechne das Quadrat.
Kürze mit .
Fasse zusammen.
Für folgt dann:
Setze , und ein.
Schreibe als und als .
Ziehe die Wurzeln.
Kürze mit 5 und .
Bringe die unter die Wurzel.
Fasse zusammen.
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt:
Lösung zu b)
Setze die berechneten Werte in die Gleichung ein:
Setze die berechneten Werte ein.
Damit hast du gezeigt, dass ist.
Gegeben ist eine Ebenenschar mit .
a) Die beiden Ebenen und sollen senkrecht aufeinander stehen.
Welche Beziehung besteht zwischen und ?
b) Zu welcher Ebene aus der oben angegebenen Schar gibt es keine dazu senkrechte Ebene aus dieser Schar?
c) Es ist . Berechne den Abstand des Koordinatenursprungs von der Scharebene und gib gegebenenfalls den Grenzwert an.
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Lösung zu a)
Die beiden Ebenen haben folgende Gleichungen:
Lies die beiden Normalenvektoren ab:
und
Die beiden Ebenen und sollen senkrecht aufeinander stehen, dann muss das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren gleich null sein.
Berechne das Skalarprodukt.
Fasse zusammen.
Umformung: -2
Löse nach auf.
Du hast die Gleichung erhalten bzw. aufgelöst nach folgt:
Wenn dieser Zusammenhang zwischen den beiden Scharparametern besteht, dann stehen die Scharebenen senkrecht aufeinander.
Lösung zu b)
Wenn ist, dann müsste sein. Das ist aber nicht möglich, da nicht durch geteilt werden darf.
Zu der Scharebene mit gibt es keine dazu senkrechte Ebene.
Lösung zu c)
Erstelle die Hessesche Normalenform der Ebene:
Wegen muss mit multipliziert werden:
Umformung: \cdot(-1)
Erstelle nun die Gleichung der Hesseschen Normalenform:
Setze den Normalenvektor ein.
Fasse zusammen.
Für die Berechnung des Abstandes der Ebene vom Koordinatenursprung setze in die Koordinaten des Ursprungs ein:
Fasse zusammen.
Es ist Wegen erhältst du für den Betrag:
Die Scharebene hat vom Koordinatenursprung den Abstand .
Berechnung des Grenzwertes von d(O,E)
Klammere in Nenner aus.
Schreibe den Nenner als Produkt von zwei Wurzeln.
Berechne . Wegen ist .
Kürze mit .
Berechne den Grenzwert:
Der Grenzwert .
