Untersuchen einer Betragsfunktion
Gegeben ist die Funktion .
Untersuche auf Stetigkeit.
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Mache eine Fallunterscheidung für und , wie sieht der Funktionsterm für diese Abschnitte aus? Für die Stetigkeit müssen rechtsseitige und linksseitige Grenzwerte gleich dem Funktionswert sein. Wie sieht das für die Stelle aus?
Beginnen wir mit der Fallunterscheidung.
- bedeutet, nimmt einen positiven Wert an. Der Betrag ist damit überflüssig und der Funktionsterm ergibt sich zu:
- bedeutet, nimmt einen negativen Wert an. Der Betrag kann dann nur entfernt werden, wenn das Vorzeichen davor wechselt:
Auf dem Intervall ist eine stetige Polynomfunktion. Auf ist ebenfalls stetig. Die Frage ist, was ist mit der Stelle zwischendrin, ?
- Hierzu betrachte den Grenzwert von links (Welchen Funktionswert hat die Funktion in dieser Stelle?):
- Hierzu betrachte den Grenzwert von rechts (Welchen Funktionswert hat die Funktion in dieser Stelle?):
- Der Funktionswert von ist:
Alle Werte stimmen überein und die Funktion ist damit in der Stelle stetig und sogar insgesamt auf dem ganzen Definitionsbereich.
Untersuche auf Differenzierbarkeit.
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In welcher Stelle könnte die Funktion nicht differenzierbar sein? Eine Funktion heißt in einer Stelle differenzierbar, wenn ihre linksseitige bzw. rechtsseitige Ableitung gleich ist:
Aus dem ersten Aufgabenteil werden die Funktionen
und
aufgegriffen. Die Ableitungen ergeben sich zu:
Diese sind differenzierbar auf ihrem Definitionsbereich, der Knackpunkt ist hier also wieder die Stelle . Die linksseitige bzw. rechtsseitige Ableitung in ergibt sich zu:
Diese Werte stimmen nicht überein, womit die Funktion nicht differenzierbar in ist.
Berechne die Nullstellen und Extrempunkte der Funktion .
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Die Funktionen auf den Teilabschnitten und können einzeln jeweils auf Extrema untersucht werden. Für die Nullstelle lässt sich der Satz des Nullprodukts mit direkt anwenden.
Nullstellen
Der Funktionsterm wird gesetzt: , wobei der Term auf der rechten Seite als Produkt formuliert ist. Hier lässt sich direkt der Satz des Nullprodukts anwenden:
Das Schaubild der Funktion hat drei Nullstellen .
Extrema
Die Funktionen werden jeweils auf Extrema untersucht, indem die Ableitung gesetzt wird und die hinreichenden Bedingungen (zweite Ableitung) hinzugezogen werden.
Da die zweite Ableitung an jeder Stelle ist, liegt ein Tiefpunkt an dieser Stelle vor. Dieser besitzt die -Koordinate:
Mehr Extrema kann diese Funktion nicht besitzen.
Da die zweite Ableitung an jeder Stelle ist, liegt ein Hochpunkt an dieser Stelle vor. Dieser besitzt die -Koordinate:
Mehr Extrema kann diese Funktion nicht besitzen.
Skizziere das Schaubild .
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Mithilfe des Aufgabenteils (c) können Punkte in das Koordinatensystem übertragen werden, durch die das Schaubild der Funktion verläuft. Hierbei ist darauf zu achten, dass die Kurve in einen Knick aufweist, da sie nach Teil (b) nicht differenzierbar ist.
