Allgemeine Berechnung
Im Folgenden werden zwei verschiedene Wege zur Berechnung des Abstandes zwischen zwei Ebenen vorgestellt. Beide Methoden sind nur sinnvoll, wenn die beiden gegebenen Ebenen parallel sind. Es muss also erst die Lagebeziehung der beiden Ebenen geprüft werden.
Berechnung mit der Hesse-Normalform
Gegeben sind zwei parallele Ebenen und in Parameter- bzw. Koordinatenform.
- Hesse-Normalform von einer der Ebenen bestimmen (z. B. von ).
- Einen beliebigen Punkt auf wählen.
- Punkt in die Hesse-Normalform von einsetzen und so den Abstand des Punktes zu berechnen.
Der so berechnete Abstand entspricht dem Abstand der beiden Ebenen, da bei parallelen Ebenen jeder Punkt auf der einen Ebene den gleichen Abstand zur anderen Ebene hat.
Beispiel
Gegeben sind die zwei parallelen Ebenen und in Koordinatenform.
Bestimmung des Abstandes mit der Hesse-Normalform
- Hesse-Normalform bestimmen: ,
- Punkt auf wählen:
- Punkt in Hesse-Normalform einsetzen:
Berechnung mit einer Hilfsgerade
Gegeben sind die zwei parallele Ebenen
und .
Es muss also eine Ebene in Normalenform gegeben sein, oder in diese umgeformt werden.
- Hilfsgerade bestimmen, die durch den Punkt (Stützpunkt von ) und senkrecht zur Ebene liegt.
- Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene bestimmen.
- Abstand von und berechnen.
Auch hier entspricht dieser Abstand dem Abstand der beiden Ebenen.
Beispiel
Gegeben sind die zwei parallelen Ebenen und .
Bestimmung des Abstandes mit einer Hilfsgeraden
- Hilfsgerade bestimmen:
- Schnittpunkt bestimmen: (Berechne das Skalarprodukt)
- Abstand von S und A berechnen: