Die Drehung ist eine Abbildung, bei der Punkte in einer Ebene, um ein Zentrum und einen Drehwinkel gedreht werden.
Wird ein Punkt (z.B. ) gedreht, so nennt man den gedrehten Punkt Bildpunkt. Üblicherweise bezeichnet man den Bildpunkt zu als .
erfüllt die folgenden Eigenschaften:
Um eine Figur zu drehen, drehst du diejenigen Punkte, die die Figur kennzeichnen (z.B. Eckpunkte, Kreismittelpunkte, Schnittpunkte ...)
Beachte: Du drehst die Punkte und Figuren immer gegen den Uhrzeigersinn falls nicht anders angegeben!
Animation zur Drehung
Im folgenden Applet siehst du ein gedrehtes Dreieck. Es wurde um Z, um den Winkel gedreht. Im Applet kannst du ändern und die Punkte Z, A, B und C verschieben. Zudem kannst du dir Hilfslinien ein- und ausblenden, um die Konstruktion der Punkte besser verstehen zu können.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Beispiel
Im folgenden Bild wird die Figur einer Katze um mit Drehwinkel gedreht.
Um die Figur zu drehen, wurden die Eckpunkte der Nase, der Mittelpunkt des Kreises und die Eckpunkte der Ohren gedreht. Die entsprechenden Punkte musst du dann noch verbinden und einen Kreis mit dem Radius zeichnen.
Eigenschaften der Drehung
Die Drehung ist eine Kongruenzabbildung. Das bedeutet anschaulich, dass du eine Figur und deren gedrehte Bildfigur auf einem Stück Papier ausschneiden und deckungsgleich aufeinander legen kannst (ohne die Schnitte zu wenden).
Gedrehte Figuren erfüllen also folgende Eigenschaften:
- Geradentreu: Geraden werden durch die Drehung wieder auf Geraden abgebildet.
- Längentreu: Die Längen der Strecken in Figuren und die Längen der Strecken ihren gedrehten Bildfiguren sind gleich.
- Winkeltreu: Winkel bleiben durch die Drehung erhalten. Die Figur und Bildfigur zeigen die gleichen Winkel.
- Flächentreu: Die Fläche einer Figur und ihrer Bildfigur ist gleich.
- Orientierungstreu: Die gedrehten Figuren haben dieselbe Orientierung wie die ungedrehte Figur.
Konstruktion einer Drehung mit Zirkel und Geodreieck
Anhand von einem Beispiel siehst du, wie du mit Zirkel und Geodreieck eine Figur drehen kannst.
Drehe das folgende Rechteck um Z um den Winkel .
Die Figur wird durch die Eckpunkte A, B, C und D gekennzeichnet. Wenn du diese Punkte drehst, kannst du die Eckpunkte verbinden. So erhältst du das gedrehte Rechteck A'B'C'D'.
Drehe den Punkt A. Zeichne zuerst einen Kreis um Z durch den Punkt A.
Ziehe nun eine Linie zwischen Z und A und trage einen Winkel der Größe ab.
Zeichne den Schenkel für ein. Der Schnitt des Schenkels mit dem Kreis ist A'.
Drehe auf die gleiche Art die Punkte B, C und D. (Die Konstruktionslinien sind im folgenden Bild nicht enthalten zur besseren Übersicht.)
Verbinde nun noch die Eckpunkte zu einem Rechteck und du bist fertig.
Fertiges Bild der Drehung mit Konstruktionslinien
Mit allen Hilfslinien sieht dein Bild so aus:
Hier siehst du noch in rot, wo der Winkel abgetragen wurde.
Übungsaufgaben
Drehung mithilfe einer Matrix
Drehungen können auch mithilfe einer Drehmatrix beschrieben werden. Sieh dir hierfür den Artikel Drehung mittels Matrizen an.
Drehsymmetrie
Mithilfe der Drehung lässt sich auch eine besondere Form der Symmetrie beschreiben, die Drehsymmetrie.
Mehr zu diesem Thema findest du im Artikel Drehsymmetrie.
