Man kann einen gegebenen Vektor auf eine bestimmte Länge bringen, in dem man ihn zu einem Einheitsvektor normiert und anschließend auf die gewünschte Länge streckt oder staucht.
Normierter Vektor
Einen Vektor zu normieren, bedeutet ihn zu einem Vektor gleicher Richtung und Orientierung zu machen, der die Länge 1 besitzt. Den normierten Vektor kennzeichnet man durch eine hochgestellte , also hier z.B. .
Der Vektor hat die Länge . Der zugehörige Einheitsvektor der Länge ist .
Normieren eines Vektors
Man normiert einen Vektor, in dem man jede Koordinate durch die Länge des Vektors teilt:
Nachweis
Für einen Vektor ermittelt man die Länge durch .
Unsere These ist, dass wir diesen Vektor normieren, in dem wir jede Koordinate durch die Länge des Vektors teilen.
Ersetze durch
Brüche werden quadriert, in dem man Zähler und Nenner quadriert. Dabei fällt die Wurzel im Nenner weg.
Brüche mit gleichem Nenner können addiert werden
Der Bruch hat den Wert 1.
Vektor auf gewünschte Länge strecken/stauchen
Multipliziert man den normierten Vektor mit der gewünschten Länge , so erhält man einen Vektor , der diese Länge hat
Nachweis
Es ist bereits gezeigt, dass gilt. Deshalb reicht es zu zeigen, dass die Länge hat.
Die Koordinaten von werden für die Übersichtlichkeit mit bezeichnet
Produkte werden quadriert, in dem man die einzelnen Faktoren quadriert
Klammere aus.
Radiziere teilweise und ziehe so das aus der Wurzel
Die Wurzel entspricht der Länge des Vektors
Der Vektor ist also k-Mal so lang wie der Vektor , der die Länge 1 hatte.
Eingebetteter Serlo-Inhalt
Eingebetteter Serlo-Inhalt