Als "Teiler" einer ganzen Zahl bezeichnet man eine natürliche Zahl, durch die sich ohne Rest teilen lässt. Teiler listet man oft als Menge.
Beispiel:
Ein Teiler von ist , weil Rest ist. Alle Teiler sind , , , , und (als Menge: )
Der größte gemeinsame Teiler (=ggT) zweier oder mehrerer Zahlen ist die größte natürliche Zahl, durch die sich alle diese Zahlen teilen lassen.
Beispiel:
Die Teiler von sind , , , , und .
Die Teiler von sind , , , , , , und .
Der größte gemeinsame Teiler von und ist , also kurz
Den ggT nutzt man beispielsweise beim Rechnen mit Brüchen. Dort ist es hilfreich, den von Zähler und Nenner zu bestimmen, um mit ihm zu kürzen.
Wie kommt man auf den ?
Im Folgenden werden dir 3 verschiedene Methoden zur Berechnung des ggTs vorgestellt:
- Teiler auflisten
- Über die Primfaktorzerlegung
- Über den euklidischen Algorithmus
Teiler auflisten
Diese Methode funktioniert bei kleinen Zahlen, bei denen man leicht überprüfen kann, welche Teiler sie haben.
Beispiel 1
Gesucht ist der von 16 und 20.
Teiler von 16: | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
Teiler von 20: | 1 | 2 | 4 | 5 | 10 | 20 |
Die größte Zahl, die sowohl Teiler von als auch von ist, ist
Beispiel 2
Gesucht ist der ggT von , und .
Teiler von 8: | 1 | 2 | 4 | 8 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Teiler von 12: | 1 | 2 | 4 | 6 | 12 | |||
Teiler von 30: | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 | 10 | 15 | 30 |
Die größte Zahl, die sowohl Teiler von , als auch von ist, ist
Video zur Bestimmung des ggt (Teiler auflisten)
Eingebetteter Serlo-Inhalt
Über die Primfaktorzerlegung
Hat man die Primfaktorzerlegung zweier (oder mehrerer) Zahlen, kann man daraus den größten gemeinsamen Teiler ausrechnen.
Erläuterung
Eine Zahl ist durch alle ihre Primfaktoren teilbar. Also ist sie auch durch jedes Produkt ihrer Primfaktoren teilbar.
Mehrere Zahlen sind folglich durch das Produkt ihrer gemeinsamen Primfaktoren teilbar.
Wenn es keine gemeinsames Primfaktoren gibt, ist die einzige Zahl, die diese Zahlen noch teilt und somit der größte gemeinsame Teiler.
Beispiel 1
Gesucht ist :
Beide Zahlen haben die und die jeweils einfach als Primfaktoren gemeinsam.
Also ist
Beispiel 2
Gesucht ist :
Beide Zahlen haben die , und als Primfaktoren gemeinsam. Den Primfaktor haben beide sogar zweimal gemeinsam.
Also ist
Beispiel 3
Gesucht ist :
Die beiden Zahlen haben also keinen gemeinsamen Primfaktor. Deshalb ist
Beispiel 4
Gesucht ist der .
Die drei Zahlen haben also den gemeinsamen Primfaktor . Deshalb ist
Video zur Bestimmung des ggT (Primfaktorzerlegung)
Eingebetteter Serlo-Inhalt
Über den euklidischen Algorithmus
Mit dem euklidischen Algorithmus kann man den größten gemeinsamen Teiler auch ausrechnen. Mitunter ist es ein wenig langwierig, aber hat man die Methode einmal verstanden, führt sie einen auch für große Zahlen sicher zum Ziel.
Die Vorgehensweise mittels dieser Methode ist im folgenden Artikel erklärt: euklidischer Algorithmus
Es lässt sich hierdurch erstmal nur der ggT zweier Zahlen bestimmen. Möchtest du den ggT dreier (oder von noch mehr Zahlen) mithilfe dieser Methode berechnen, musst du mehrstufig vorgehen.
Beispiel: Gesucht ist der ggT von , und . Berechne den ggT zweier Zahlen, z.B. . Danach kannst du die Methode nochmal anwenden:
Berechne den ggT von 60 und 90 mittels des euklidischen Algorithmus.
Wende den euklidischen Algorithmus nochmals an.
Eingebetteter Serlo-Inhalt