In diesem Artikel wird anhand eines Beispiels der Aufgabentyp "Dreimal-Mindestens-Aufgaben" erklärt.
Dreimal-Mindestens-Aufgaben
Dreimal-Mindestens-Aufgaben (oder 3-Mindestens-Aufgaben) erkennt man häufig sofort, wenn man die Fragestellung liest. Diese erhält nämlich dreimal Worte wie "mindestens", "mehr als" oder "wenigstens".
Ziel ist es hier meistens, die minimale Anzahl an Versuchsdurchläufen herauszufinden (Wie oft muss ich mindestens drehen, treffen, werfen, ziehen…), um mindestens einen gewünschten Versuchsausgang (mindestens ein Gewinnfeld, Torschuss, 6er Pasch, Hauptgewinn) zu erreichen.
Diese Aufgaben lassen sich auf die immer gleiche Weise lösen, sobald man die relevanten Zahlen aus der Aufgabenstellung herausgelesen hat.
Zwei Wahrscheinlichkeiten in einer Aufgabe?
Bei 3-Mindestens-Aufgaben stößt man auf zwei verschiedene Wahrscheinlichkeitsangaben:
- Die Trefferwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, mit der man bei einmaligem Ausführen des Versuchs einen Treffer erzielt. Diese bleibt immer gleich, egal wie oft man den Versuch ausführt. Also zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit bei einmaligem Werfen einer Münze einen Kopf zu erhalten oder beim einmaligen Ziehen eines Loses einen Gewinn zu bekommen.
- Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer ist die Wahrscheinlichkeit, mit der man nach mehrmaligem Ausführen des Versuchs mindestens einen Treffer hat. Werfe ich zehnmal oder ziehe ich zehn Lose, so gibt mir diese zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit an, wie wahrscheinlich es ist, dass ich mindestens einmal Kopf geworfen habe oder mindestens ein Gewinnlos gezogen habe.
Übung:
Versuche jeweils, die Treffer- und die Gesamtwahrscheinlichkeit zu finden!
- Tim ist ein sehr guter Torwart und hält in 80 Prozent der Fälle einen Elfmeter. Wie oft muss sein Freund mindestens auf das Tor schießen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 Prozent mindestens einmal zu treffen?
- Tina pflanzt rote und gelbe Tulpenzwiebeln. Leider lagert sie beide Sorten in einer Kiste und die Zwiebeln sehen identisch aus! Tina weiß lediglich, dass sie dreimal so viele rote Tulpen hat wie gelbe. Wie viele Tulpenzwiebeln muss Tina nun mindestens aussähen, damit sie mit mindestens 80 Prozent Wahrscheinlichkeit mindestens eine gelbe Tulpe pflanzt?
Hier bekommst du die Lösung
Zu 1:
- Die Trefferwahrscheinlichkeit entspricht, aus der Sicht von Tims Freund, der Wahrscheinlichkeit, dass er ein Tor schießt, also .
- Die kleinste gültige Gesamtwahrscheinlichkeit entspricht hier der Wahrscheinlichkeit, dass Tim mindestens einmal nicht hält, also mindestens ein Tor fällt. Hier wird
Zu 2:
- Die Trefferwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällige Zwiebel eine gelbe Tulpe sprießen lässt, muss man hier erst berechnen. Tina hat dreimal so viele rote wie gelbe Tulpenzwiebeln, also sind der Zwiebeln rot und unsere gesuchte Wahrscheinlichkeit ist der Rest, also .
- Die kleinste Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer ist hier die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine gelbe Tulpe ausgesät zu haben. Diese soll mehr als 80 Prozent betragen, also .
Gegenereignis verwenden
Will man die Wahrscheinlichkeit davon wissen, mindestens einen Treffer zu haben, ist es einfacher, das Gegenereignis zu betrachten, nämlich das man keinen Treffer hat. Diese ist oft einfach zu berechnen. Dann gilt:
3-Mindestens-Aufgaben am Beispiel lösen
Nachdem man die Trefferwahrscheinlichkeit und die Gesamtwahrscheinlichkeit identifiziert hat, kann man beginnen, die Aufgabe zu lösen. Nehmen wir die erste Aufgabe von oben:
gesucht: Anzahl der Schüsse gegeben: Torschusswahrscheinlichkeit und
Verwende das Gegenereignis
Die Wahrscheinlichkeit, immer daneben zu schießen, entspricht im Baumdiagramm dem Pfad, der bei Schüssen -Mal zum "Nicht-Treffer" geht.
Die Wahrscheinlichkeit, nicht zu treffen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Tim hält, also .
Umformung: -1
Forme diese Gleichung um.
Umformung: \cdot\left(-1\right)
Multiplikation mit negativer Zahl dreht das Ungleichheitszeichen um.
Verwende den Logarithmus, um das aus dem Exponenten zu bekommen. Achte darauf: Die Basis zum Exponenten (also die ) wird die Basis des Logarithmus. Hierbei dreht sich das Ungleichheitszeichen erneut um.
Berechne den Logarithmus.
Alternative Lösung durch Nutzung des natürlichen Logarithmus
Alternativ kannst du die Ungleichung auch mithilfe des natürlichen Logarithmus lösen. Dazu wird wie folgt vorgegangen:
Auf beiden Seiten wird der natürliche Logarithmus gezogen.
Mithilfe eines Logarithmus-Gesetzes kann aus dem Exponenten mit multiplikativer Verknüpfung vor den geschrieben werden.
Umformung: \cdot\frac{1}{\ln\left(0,8\right)}
Um zu berechnen, muss durch geteilt werden. Beachte, dass der eine negative Zahl ist und sich somit das Ungleichheitszeichen umdreht.
Berechne die rechte Seite der Ungleichung.
Wichtig ist hierbei das Wissen über die Logarithmus-Funktion und ihre Rechenregeln. Dieselbe Rechnung bekommst du, wenn du den Dezimallogarithmus statt des natürlichen Logarithmus verwendest.
Es wurde nach der Mindestanzahl an Schüssen gefragt, deshalb rundet man auf!
Er muss elfmal schießen, um mit mindestens -iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal zu treffen.
3-Mindestens-Aufgabe allgemein lösen
Das gerade beschriebene Verfahren läuft immer gleich ab. Deshalb kann man es auch allgemein aufschreiben:
gesucht: Mindestanzahl an Versuchsduchläufen gegeben: Trefferwahrscheinlichkeit und .
Verwende das Gegenereignis mit der Gegenwahrscheinlichkeit von
Umformung: -1
Umformung: \cdot\left(-1\right)
Umformung: \log_{\left(1-p\right)}
Weil ist, dreht sich bei der Anwendung des Logarithmus das Ungleichheitszeichen um.
Runde n auf die nächste ganze Zahl und du hast das Ergebnis!
Auch das wird am Beispiel mit den Blumenzwiebeln ausprobiert.
Du hast (eine gelbe Tulpe) und (eine rote Tulpe).
soll den Wert haben, also ist .
In die Formel eingesetzt erhältst du
Tina muss also 6 Zwiebeln pflanzen, um mit Wahrscheinlichkeit eine gelbe Tulpe dabei zu haben.
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