Gegeben ist die folgende Bruchgleichung:
Bestimme die Defintionsmenge und die Lösungsmenge!
(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)
Lösung anzeigen
Versuche die Gleichung Bruchterm-frei zu machen. Dafür kannst du verschiedenen Methoden nutzen.
Bestimme die Definitionsmenge der Bruchgleichung
Zur Lösung der Bruchgleichung musst du zuerst die Defintionsmenge bestimmen. Dafür musst du die Nenner der einzelnen Brüche herausschreiben und gleich setzen. Da in jedem vorkommenden Bruch der Nenner ist, reicht es diesen Nenner gleich zu setzen.
Setze den Nenner gleich .
Du siehst jetzt, dass diese Gleichung bereits nach aufgelöst ist. Daher ist die Bruchgleichung nur für nicht definiert. Daher hat die Gleichung die Definitionslücke bei und du siehst:
Gleichung bruchterm-frei machen
Nun musst du die Gleichung bruchterm-frei machen. Dafür kannst du zunächst die Gleichung vereinfachen:
Multipliziere die Klammern aus.
Addiere auf beiden Seiten.
Vereinfache:
Alle vorkommenden Nenner sind gleich, nämlich . Der einzige Baustein ist , daher ist auch der Hauptnenner . Indem du jetzt die Gleichung mit diesem Hauptnenner multiplizierst, erhältst du eine bruchterm-freie Gleichung:
Multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner .
Löse die bruchterm-freie Gleichung
Jetzt kannst du die lineare bruchterm-freie Gleichung lösen.
Addiere auf beiden Seiten der Gleichung .
Vereinfache den Term auf der linken Seite.
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch .
Als Lösung der Gleichung erhältst du also .
Angabe der Lösungsmenge
Du musst jetzt noch überprüfen, ob die Lösung der Gleichung auch in der Definitionsmenge liegt. Wegen liegt in der Definitionsmenge und daher auch in der Lösungsmenge. Daher erhältst du: .
Die Lösungsmenge der Bruchgleichung ist also gegeben durch .