Die maximale Definitionsmenge einer Bruchgleichung gibt an, welche Werte für die Variable eingesetzt werden dürfen.
Nenner darf nicht 0 sein
Im Nenner eines Bruches darf niemals Null stehen. Alle Zahlen, für die sich beim Einsetzen in der Gleichung irgendwo im Nenner Null ergibt, müssen deshalb aus der Definitionsmenge einer Bruchgleichung ausgeschlossen werden.
Mathematische Schreibweise
Um Zahlen aus der Grundmenge auszuschließen, verwendet man das Mengenoperationszeichen (also einen nach rückwärts gekippten Strich).
- "" bedeutet "ohne".
- Danach kommen die ausgeschlossenen Zahlen.
- Um diese Zahlen herum steht eine Mengenklammer: "".
Beispiel
bezeichnet die Menge aller rationalen Zahlen außer und .
Diese Menge würde man als Definitionsmenge für eine Bruchgleichung wählen, wenn
- die Grundmenge ist, und
- aus der Definitionsmenge und ausgeschlossen werden müssen.
Anmerkung zur Grundmenge
Als Grundmenge wird natürlich in der Regel die größtmögliche Zahlenmenge verwendet, die zur Verfügung steht. Je nach Klassenstufe und Lehrplan kann das aber entweder die Menge der reellen Zahlen oder aber nur die Menge der rationalen Zahlen sein.
Beispiel
Wenn bei einer Bruchgleichung die Zahlen und ausgeschlossen werden müssen, dann ist die Definitionsmenge
- , falls die Grundmenge ist,
und
- , falls die Grundmenge ist.
Allgemeines Vorgehen erklärt am Beispiel
Beschreibung | Beispiel |
|---|---|
Für jeden der Brüche: | |
| |
| |
| |
| Im Beispiel erhält man , falls die Grundmenge ist, bzw. , falls die Grundmenge ist. |
Warum ist die maximale Definitionsmenge wichtig?
In der Regel wird vor dem Lösen der Bruchgleichung der Definitionsbereich (oder die Definitionsmenge) der Bruchgleichung bestimmt.
Wenn man später die Gleichung gelöst und ein Ergebnis erhalten hat, muss man nachprüfen, ob es überhaupt im Definitionsbereich liegt. Wenn es nicht darin enthalten ist, ist es nicht Lösung der Gleichung, auch wenn man ansonsten richtig gerechnet hat.
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