Das abgebildete Verkehrsschild gibt am Fuß einer Bergstraße deren Steigung an. Hannah sagt: „Wenn man auf dieser Straße 20 m zurücklegt, so gewinnt man dabei 5 m an Höhe.“ Ist Hannahs Behauptung richtig? Begründen Sie Ihre Antwort anhand einer geeigneten Skizze. (2 BE)
Lösung anzeigen
Welche Aussage beinhaltet das folgende Verkehrsschild?
Man berechnet die Steigung, indem man den Anteil der zurückgelegten Höhe im Vergleich zu der zurückgelegten Strecke im Waagrechten ausmacht, also
senkrecht : waagrecht
Das heißt: Bei einer Steigung von gewinnt man an Höhe, wenn man in der Waagrechten zurücklegt.
In unserem Fall sieht die Straße so aus:
Überprüfe Hannahs Aussage:
Hannah will bei einer Steigung von an Höhe gewinnen. Berechne nun, welche Strecke sie in der Waagrechten zurücklegen muss.
Umformung: \cdot x
Umformung: :0,25
Die Aussage von Hannah ist falsch. Wenn sie an Höhe gewinnen will, muss sie in der Waagrechten zurücklegen. Die Katheten des Dreiecks haben also eine Länge von und . Hannah behauptet allerdings, dass sie auf der Straße zurücklegt. Die Straße ist jedoch die Hypotenuse. Da die Hypotenuse die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist, ist sie auf jeden Fall länger als die Katheten. Die Hypotenuse ist also länger als .
Hannah muss mehr als auf der Straße zurücklegen, um an Höhe zu gewinnen.
Zusatzbemerkung
Mit dem Satz des Pythagoras kannst du die genaue Strecke berechnen, die Hannah auf der Straße zurücklegen muss, um an Höhe zu gewinnen. (Danach wird in dieser Aufgabe aber gar nicht gefragt.)