In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte , , und gegeben. Sie liegen in einer Ebene und bilden ein Viereck , dessen Diagonalen sich im Punkt schneiden.
Begründen Sie, dass die Gerade parallel zur -Ebene verläuft. (1 BE)
Weisen Sie nach, dass das Viereck ein Rechteck ist. Bestimmen Sie die Koordinaten von . (4 BE)
(Teilergebnis: )
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene in Normalenform. (3 BE)
(mögliches Ergebnis: )
Ein Solarmodul wird an einem Metallrohr befestigt, das auf einer horizontalen Fläche senkrecht steht. Das Solarmodul wird modellhaft durch das Rechteck dargestellt. Das Metallrohr lässt sich durch eine Strecke, der Befestigungspunkt am Solarmodul durch den Punkt beschreiben (vgl. Abbildung). Die horizontale Fläche liegt im Modell in der -Ebene des Koordinatensystems; eine Längeneinheit entspricht in der Realität.
Um einen möglichst großen Energieertrag zu erzielen, sollte die Größe des Neigungswinkels des Solarmoduls gegenüber der Horizontalen zwischen und liegen. Prüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist. (3 BE)
Auf das Solarmodul fällt Sonnenlicht, das im Modell durch parallele Geraden dargestellt wird, die senkrecht zur Ebene verlaufen. Das Solarmodul erzeugt auf der horizontalen Fläche einen rechtwinkligen Schatten.
Zeigen Sie unter Verwendung einer geeignet beschrifteten Skizze, dass der Flächeninhalt des Schattens mithilfe des Terms berechnet werden kann. (5 BE)
Um die Sonneneinstrahlung im Laufe des Tages möglichst effektiv zur Energiegewinnung nutzen zu können, lässt sich das Metallrohr mit dem Solarmodul um die Längsachse des Rohrs drehen. Die Größe des Neigungswinkels gegenüber der Horizontalen bleibt dabei unverändert. Betrachtet wird der Eckpunkt des Solarmoduls, der im Modell durch den Punkt dargestellt wird. Berechnen Sie den Radius des Kreises, auf dem sich dieser Eckpunkt des Solarmoduls bei der Drehung des Metallrohrs bewegt, auf Zentimeter genau. (4 BE)
Lösung anzeigen
Lösung zur Teilaufgabe a)
Berechne den Richtungsvektor der Geraden :
Die -Koordinate von ist , das heißt, dass die -Koordinate für alle Punkte auf gleich ist. Deshalb muss parallel zur -Ebene verlaufen.
Lösung zur Teilaufgabe b)
Das Viereck ist ein Rechteck, wenn alle Ecken rechte Winkel besitzen. Um das zu prüfen, kannst du die Kantenvektoren bestimmen und deren Skalarprodukte berechnen (bei einem rechten Winkel ergibt das Skalarprodukt Null).
rechter Winkel bei
rechter Winkel bei
rechter Winkel bei
rechter Winkel bei
Da alle vier Ecken einen rechten Winkel besitzen, handelt es sich bei um ein Rechteck.
Berechnung von
Da ein Rechteck ist, ist der Mittelpunkt der beiden Strecken und .
Lösung zur Teilaufgabe c)
Bestimme zunächst den Normalenvektor :
Setze und in die Ebenengleichung in Normalform ein:
Lösung zur Teilaufgabe d)
Verwende die Normalenvektoren der Ebenen und , um den Winkel zwischen diesen beiden Ebenen zu berechnen. Ein Normalenvektor der -Ebene ist .
Den Winkel zwischen und kannst du mit dem Skalarprodukt berechnen.
ist zwischen und , die Bedingung ist also erfüllt.
Lösung zur Teilaufgabe e)
Das Rechteck stellt den Schatten des Solarmoduls dar und liegt auf der -Ebene. Die gelben gestrichelten Linien sind die Sonnenstrahlen, die parallel verlaufen und das Solarmodul orthogonal treffen.
Anmerkung: Die Punkte und des Solarmoduls liegen eigentlich nicht auf der -Ebene. Dies wurde in der Skizze so dargestellt, um das rechtwinklige Dreieck zu verdeutlichen, das sich zwischen dem Solarmodul und Schatten ergibt. Für den Flächeninhalt des Schattens ergibt sich kein Unterschied.
Zur Berechnung des Flächeninhalts des Schattens benötigst du beide Seitenlängen. Die Skizze veranschaulicht, dass eine Seitenlänge dem Abstand zwischen und entspricht, also ist. Die zweite Seitenlänge kannst du durch das Dreieck berechnen, das bei einen rechten Winkel besitzt. Für rechtwinklige Dreiecke gilt folgende Beziehung:
Hier bedeutet das
Diese Gleichung kannst du nach der gesuchten Seitenlänge, , auflösen.
Jetzt kennst du die Seitenlängen des Schattens. Du musst beide allerdings noch mit multiplizieren, da jede Längeneinheit im Koordinatensystem in der Realität entspricht.
Durch Multiplikation der Seitenlängen erhältst du für den Flächeninhalt des Schattens den Term .
Lösung zur Teilaufgabe f)
Der Mittelpunkt des Kreises, auf dem sich bewegt, liegt auf der Geraden , die orthogonal zur -Ebene ist und durch den Punkt geht. hat die Geradengleichung
Jetzt kannst du den Abstand von zu berechnen.