Berechne das Volumen des symmetrischen Körpers.
Punkte: 4
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Videoerklärung
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}Zur Lösung dieser Aufgabe solltest du wissen, was Prismen und Quader sind und wie du ihr Volumen bestimmst.
Die abgebildete Figur ist achsensymmetrisch und setzt sich in jeder Symmetriehälfte aus einem lila Körper, einem Prisma, mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks und einem roten Körper, einem Quader, zusammen.
Das Volumen eines lila Prismas kannst du mit der Formel berechnen. Bevor du das Volumen des Prismas bestimmst, rechnest du zuerst die Grundfläche aus.
Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks
Die Grundfläche ist das rechtwinklige Dreieck. Den Flächeninhalt berechnest du mit der Formel , wobei die Höhe ist (siehe Skizze). Die Grundlinie berechnen wir mit dem Satz des Pythagoras, da wir ein rechtwinkliges Dreieck vorliegen haben.
Hier sind und die Katheten und die Hypotenuse.
Setze und ein und .
Setze die Werte ein.
Nun löst du die Potenzen auf.
Subtrahiere nun auf beiden Seiten der Gleichung .
Im letzten Schritt ziehst du noch die Wurzel.
Die Grundlinie des rechtwinkligen Dreiecks entspricht .
Im Folgenden setzt du die Grundlinie und die Höhe in die Flächeninhaltsformel für Dreiecke ein.
Setze und ein.
Somit hat das rechtwinklige Dreieck eine Fläche von .
Volumenberechnung eines Prismas
Nun berechnest du das Volumen des Prismas mit der vorher bestimmten Grundfläche des rechtwinkligen Dreiecks.
Im ersten Schritt setzt du und ein.
Rechne das Volumen des Prismas aus.
Das Volumen des Prismas beträgt
Volumenberechnung eines Quaders
Nun wird noch das Volumen des Quaders bestimmt.
Wobei die Länge der Grundlinie des rechtwinkligen Dreiecks entspricht, also .
Im letzten Schritt berechnest du noch das Gesamtvolumen, indem du das Volumen des Prismas und des Quaders addierst und mit zwei multiplizierst, da der Körper aus zwei solchen Hälften besteht.
Somit lautet die Antwort: Das Gesamtvolumen des Körpers beträgt .