Punkte für Aufgabe 3.1: 1 P
Punkte für Aufgabe 3.2: 2 P
Punkte für Aufgabe 3.3: 2 P
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Lösung zu Teilaufgabe A 3.1
In dieser Teilaufgabe untersuchst du den Definitionsbereich eines logarithmischen Funktionsterms.
Zunächst betrachtest du die Gleichung der Funktion . Der Logarithmus ist nur für positive -Werte definiert. Damit erfüllt ist, muss folglich gelten. Der Definitionsbereich ist also durch gegeben.
Lösung zu Teilaufgabe A 3.2
Diese Teilaufgabe beschäftigt sich mit der Umkehrfunktion eines logarithmischen Funktionsterms.
Um die Umkehrfunktion zu zu bestimmen, kannst du nach folgendem Schema vorgehen:
- Zunächst vertauschst du und in der Funktionsgleichung.
- Anschließend löst du die Gleichung nach auf:
Umformung: -1
Umformung: 2^{(\cdot)}
Du rechnest , da die Umkehrfunktion von ist.
Umformung: -2
Es gilt also .
Damit folgt nun, dass die Umkehrfunktion von durch gegeben ist.
Lösung zu Teilaufgabe A 3.3
In dieser Teilaufgabe berechnest du den Schnittpunkt zweier Funktionen.
Du weißt, dass der Graph der Funktion eine Gleichung der Form hat und den Graphen der Funktion auf der -Achse schneidet.
Da die Graphen sich auf der -Achse schneiden, sind für die -Werte der Funktionsgleichungen von und gleich:
.
Einsetzen der Funktionsgleichungen von und liefert:
.
Diese Gleichung löst du nun nach auf:
Vereinfache.
Umformung: -3
Umformung: 2^{(\cdot)}
Umformung: \log_2(2)=1
und erhältst .
Folglich ist die Lösungsmenge durch gegeben und die Funktionsgleichung von lautet .
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.
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