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Lösung zu B1.1
Scheitelpunkt
Scheitelpunktform
Normalform
Vergleiche die gegebene Parabelgleichung mit der allgemeinen Normalform um zu bestimmen. Setze dann und in die Scheitelpunktform ein und vereinfache.
Zeichne die Parabel und Gerade (z.B. mit Hilfe einer Wertetabelle aus dem Taschenrechner).
Lösung zu B1.2
und sind die Schnittpunkte von und .
liegen auf der Parabel
bilden Drachenvierecke mit als Symmetrieachse
Berechne indem du in einsetzt:
Drachenvierecke gibt es, solange zwischen und liegt.
Lösung zu B1.3
, ,
Um zu zeigen, dass das Dreieck rechtwinklig ist, zeige, dass der Satz des Pythagoras erfüllt ist.
Berechne dafür zunächst die Seitenlängen , und .
Überprüfe mit diesen Streckenlängen, ob der Satz des Pythagoras erfüllt ist.
sollte dabei die Hypothenuse sein.
Der Satz des Pythagoras ist erfüllt, damit ist das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei .
Lösung zu B1.4
Die Punkte liegen auf der Parabel . Die Punkte und liegen auf der -Achse und sind deshalb die Nullstellen von . Um die Nullstellen zu berechnen, setze in der Parabelgleichung und löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel.
Lösung zu B1.5
Gegeben sind die folgenden Punkte des Drachenvierecks:
Das Drachenviereck kannst du in die zwei Dreiecke und aufteilen. Die Flächeninhalte der beiden Dreiecke sind aufgrund der Symmetrie vom Drachenviereck gleich.
Die Fläche vom Dreieck kannst du über die Determinante berechnen:
Um auf die Fläche des Drachenvierecks zu kommen nehmen wir nun diese Fläche doppelt und kommen auf:
Berechne dazu die beiden Vektoren.
Anschließend kannst du die Determinante bestimmen.
Der Flächeninhalt des Drachenvierecks in Abhängigkeit von ist .
Alternative Lösung zu B1.5
Das Drachenviereck besteht aus zwei Dreiecken und mit gleichem Flächeninhalt. Um den Flächeninhalt von zu berechnen, teile es in zwei Dreiecke und auf.
Beide Dreiecke haben die gleiche Grundseite . Berechne als Abstand zwischen und in -Richtung. Die Höhen und sind der Abstand zwischen und bzw. in -Richtung.
Addiere zunächst allgemein und und den Flächeninhalt des Dreiecks zu erhalten und multipliziere mit um den Flächeninhalt des Drachenvierecks zu erhalten.
Setze , und in ein.
Lösung zu B1.6
,
Die Gerade ist senkrecht zu und verläuft durch den Punkt . Berechne zunächst die Koordinaten von .
liegt in der Mitte zwischen und
Berechne nun aus dem Wissen, dass beide Geraden rechtwinklig zueinander sind, die Steigung von .
Für rechtwinklige Geraden mit Steigungen und gilt: .
Damit ist die Steigung
Setze jetzt die Steigung und in die allgemeine Geradengleichung ein und bestimme den fehlenden Parameter .