B 2.0 Das Rechteck ist die Grundfläche des Quaders . Der Punkt liegt senkrecht über dem Punkt .
Es gilt:
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild des Quaders , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und links von liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: .
Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels .
[Ergebnis: ]
B 2.2 Punkte liegen auf der Strecke . Die Winkel haben das Maß mit .
Die Punkte sind die Spitzen von Pyramiden mit der Grundfläche und den Höhen .
Zeichnen Sie die Strecke sowie die Pyramide für und ihre Höhe in die Zeichnung zu B 2.1 ein.
B 2.3 Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt:
[Teilergebnis: ]
B 2.4. Das gleichschenklige Dreieck hat die Basis .
Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide am Volumen des Quaders .
B 2.5 Unter den Strecken hat die Strecke die minimale Länge.
Bestimmen Sie das zugehörige Winkelmaß sowie die Länge der Strecke .
Zeichnen Sie sodann die Strecke in das Schrägbild zu B 2.1 ein.
B 2.6 Begründen Sie, dass für das Volumen der Pyramiden gilt:
Lösung anzeigen
Lösung zur Teilaufgabe B 2.1
Schrägbild des Quaders
In dieser Teilaufgabe ist das Schrägbild des Quaders gesucht.
Zunächst musst du wissen, was die Schrägbildachse ist und wie sie verläuft. Strecken entlang der Schrägbildachse bzw. Bildebene werden in wahrer Länge gezeichnet. Im Folgenden kannst du dir die einzelnen Schritte anschauen, indem du auf den "weiter"-Button klickst.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Berechnung des Winkels
Den Winkel kannst du mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens berechnen.
In deiner Formelsammlung unter der Überschrift "Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck" findest du folgende Gleichung.
Daraus folgt:
Das Winkelmaß des Winkels beträgt .
Lösung zur Teilaufgabe B 2.2
Gegeben ist, dass die Punkte auf der Strecke liegen. Außerdem soll in der Zeichnung der Winkel sein. Der Punkt liegt in der Fläche und somit in der Fläche der Vorderseite des Quaders. Nun zeichnest du die Strecke und die Höhe ein.
Lösung zur Teilaufgabe B 2.3
Gesucht ist das Volumen der Pyramide .
Das Volumen einer Pyramide wird allgemein berechnet durch .
1) Bestimmen der Grundfläche der Pyramide
Die Grundfläche der Pyramide ist das Rechteck . Den Flächeninhalt dieses Rechtecks berechnest du durch Länge mal Breite:
Die Grundfläche der Pyramide beträgt also .
2) Bestimmen der Höhe der Pyramide
Die Höhe der Pyramide ist die Strecke mit der Länge . Diese berechnest du mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck:
Nun berechnest du in Abhängigkeit von mithilfe des Sinussatzes:
Daraufhin setzt du in die Gleichung für ein:
3) Einsetzen in die Volumenformel
Damit erhältst du für das Volumen der Pyramide :
Lösung zur Teilaufgabe B 2.4
Der Quader besitzt das Volumen
Da die Strecke lang ist, muss auch sein.
Du setzt einfach in die Gleichung von B 2.3 ein:
Da , muss der gesuchte Winkel sein.
Setze nun in die Volumenformel der Pyramide aus Aufgabe B 2.3 ein:
Nun musst du nur noch den prozentualen Anteil des Volumens der "kleinen" Pyramide am Volumen des "großen" Quaders angeben:
Lösung zur Teilaufgabe B 2.5
Wenn die Länge der Strecke minimal sein soll, muss es sich bei um das Lot von auf die Strecke handeln.
Da der Winkel das Maß ° besitzt und es sich beim Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, muss für gelten:
Setze den Winkel in ein:
Alternative Lösung:
Mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich dann für die Länge :
Lösung zur Teilaufgabe B 2.6
Zunächst überlegst du, wann die Pyramide das maximale Volumen besitzt:
Eine Veränderung von ändert nur und damit nur die Höhe der Pyramide, die Grundfläche bleibt dabei immer gleich.
Daher kannst du sagen, die Pyramide hat ihr maximales Volumen bei .
In diesem Fall ist , und damit gilt
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Probiere es selbst am Applet aus!