Zwischen einer Straße und einem Bach soll als Hochwasserschutz ein Damm errichtet werden.
Aus technischen Gründen ist dies aber nur möglich, wenn der Bach der Straße auf höchstens 5 m nahekommt.
Berechne, ob der Schutzdamm bei dem gegebenen Geländeplan (1LE = 10 m) gebaut werden kann, wenn der Bach dem Graphen der Funktion und die Straße dem Graphen der Funktion folgen.
Lösung anzeigen
Berechne den Abstand d(x) eines beliebigen Punktes des Bachs von der Straße.
Benutze dazu im gleichschenkligen Dreieck den Satz des Pythagoras.
Um das Minimum von zu berechnen, brauchst du mit Hilfe der Ableitung der Exponentialfunktion die Ableitung .
Setze um das Minimum von d(x) zu berechnen.
der 2. Faktor muss 0 werden
nach auflösen
nach x mit Hilfe einer Logarithmusfunktion auflösen
Noch fehlt der Nachweis, dass tasächlich ein Abstandsminimum liefert.
Da streng monton steigend ist, gilt: und .Damit liefert das Abstandsminimum.
Berechne .
Der Bach kommt der Straße auf rund 6,50 m nahe. Der Schutzdamm kann deshalb gebaut werden.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Bestätige das Rechenergebnis am nebenstehenden Applet.
Verschiebe dazu den Punkt P auf dem Fluss und lies den jeweiligen Abstand d zur Straße ab. Beachte dabei: 1 LE = 10 m.
alternative Lösung
Berechne denjenigen Punkt der Exponentialfunktion f, in dem die Steigung 1 ist. Der Abstand dieses Punktes von der Geraden s ist das gesuchte Abstandsminimum.
Bilde die Ableitung der Exponentialfunktion.
Setze gleich 1.
Teile durch
Löse die Gleichung durch Logarithmieren.
Einsatz des Taschenrechners.
Setze und berechne den Näherungswert der y-Koordinate.
Den Abstand des Punktes von der Geraden berechnet man am bequemsten mit der Hessesche Normalenform der Geraden.
Formel der Hesseschen Normalenform einer Geraden
Die Gerade mit der Funktionsgleichung bzw. hat die
Hessesche Normalenform (HNF)
HNF von s:
Du erhältst den gesuchten Abstand , wenn du die Koordinaten von P in die linke Seite der HNF einsetzt.
Der geringfügige Unterschied zum ersten Ergebnis resultiert aus dem Rundungswert der y-Koordinate von P.