Bestimme die Nullstelle(n) der folgenden Funktion und gib die Linearfaktordarstellung von an:
Lösung anzeigen
Nullstellen bestimmen und Linearfaktordarstellung angeben.
Zur Berechnung der Nullstellen setzt du als Erstes .
Aus dieser Gleichung klammerst du am Besten aus.
Damit ist nämlich ein Produkt entstanden, das gleich ist. Daher kannst du nun jeden der Faktoren einzeln gleich setzen.
oder
- . Das ergibt die Nullstelle:
- Die Nullstellen des Terms in der Klammer musst du noch bestimmen.
Das ist eine quadratische Gleichung, und darauf kannst du die Lösungsformel anwenden.
Das kannst du entweder jetzt direkt gleich tun;
oder du multiplizierst vorher, wenn du geschickt vorgehen möchtest, die Gleichung erst mit .
Dann fallen nämlich alle Brüche weg!
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Berechne hiervon die Diskriminante.
Die Diskriminante ist größer als , also kannst du weiterrechnen und die beiden Lösungen bestimmen.
Die Lösungen heißen hier statt , da die Bezeichnung ja schon für die Nullstelle vergeben wurde.
Rechne beide Werte aus.
Jetzt hast du alle Nullstellen von erhalten und kannst auch ihre Vielfachheiten angeben.
Nullstellen von :
doppelte Nullstelle, d.h. Vielfachheit 2
einfache Nullstelle, d.h. Vielfachheit 1
einfache Nullstelle, d.h. Vielfachheit 1
Linearfaktordarstellung angeben
Um die Linearfaktordarstellung angeben zu können, brauchst du
- alle Nullstellen der Funktion, und
- deren Vielfachheiten;
- und den Faktor, der in der Funktion vor der höchsten -Potenz steht.
Als Linearfaktordarstellung von ergibt sich:
oder kürzer