Bestimme den Winkel, den die beiden Vektoren einschließen.
und
Lösung anzeigen
Du hast zwei Vektoren gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel
In unserem Fall haben wir die beiden Vektoren und .
Diese setzst du ein und erhätst:
Skizze der Vektoren
Löse die Formel nach um:
Schließlich bestimmst du das Skalarprodukt für den Zähler sowie die beiden Längen für den Nenner.
Aus der Division der beiden Ergebisse bekommst du nun den Faktor, den du in den Arkuskosinus einsetzt.
Also beträgt der Schnittwinkel .
und
Lösung anzeigen
Du hast zwei Vektoren gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel
Skizze der Vektoren
In unserem Fall hast du die beiden Vektoren und . Diese setzst du ein und erhältst:
Löse die Formel nach auf:
Schließlich bestimmst du das Skalarprodukt für den Zähler sowie die beiden Längen für den Nenner.
Aus der Division der beiden Ergebisse bekommst du nun den Faktor, den du in den Arkuskosinus einsetzt.
Schließlich kommst du auf den gesuchten Winkel.
Also beträgt der Schnittwinkel .
und
Lösung anzeigen
In dieser Aufgabe geht es darum, den Winkel zw. zwei Vektoren zu berechnen.
Du hast zwei Vektoren und gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel
Danach bildest du den Arkuskosinus und kommst auf:
Anschaulich bedeutet das, dass die beiden Vektoren genau entgegengesetzt gerichtet sind bzw. dass sich als schreiben lässt, wobei eine reelle Zahl.
und
Lösung anzeigen
In dieser Aufgabe geht es darum, den Winkel zw. zwei Vektoren zu berechnen.
Du hast zwei Vektoren und gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel
Danach bildest du den Arkuskosinus und kommst auf:
also beträgt der Winkel .
und
Lösung anzeigen
Die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren verwendet die Länge der jeweiligen Vektoren und das Skalarprodukt zwischen den beiden. Ein Spezialfall liegt vor, wenn das Skalarprodukt ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Berechne das Skalarprodukt zwischen und !
Das Skalarprodukt von und ist also . Daher stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander und der eingeschlossene Winkel beträgt also .
und
Lösung anzeigen
Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von und . Berechne nun zunächst diese Größen!
Länge der Vektoren berechnen
Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.
Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von mit sich selbst und mit sich selbst:
Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:
und
Skalarprodukt berechnen
Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch .
Hier also:
Das Skalarprodukt von und ist somit .
Winkel berechnen
Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:
Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt .