B1
Gegeben ist die in definierte Funktion .
Die Abbildung zeigt ihren Graphen , der genau zwei Extrempunkte besitzt: den
Tiefpunkt und den Hochpunkt .
Es gilt . Deuten Sie diese Tatsache geometrisch und berechnen Sie die Nullstellen von . [3 BE]
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Teil 1
- Untersuche .
- Beachte, die e-Funktion geht stärker gegen null, als die Potenzfunktion gegen unendlich geht.
Teil 2
- Berechne .
Deute diese Tatsache geometrisch
, da die e-Funktion stärker gegen null geht, als die Potenzfunktion gegen unendlich geht. Die x-Achse ist Asymptote von .
Berechne die Nullstellen von
Berechne :
Weil für alle folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
oder
Die Nullstellen sind und .
Berechnen Sie die Koordinaten von . Geben Sie die Wertemenge von an und begründen Sie Ihre Angabe. (zur Kontrolle:
[6 BE]
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Teil 1
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
Teil 2
- Untersuche , der Grenzwert ergibt die linke Intervallgrenze.
- ist der einzige Hochpunkt, der y-Wert ist der größte auftretende Wert, das ergibt die rechte Intervallgrenze.
Berechne die Koordinaten von
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
Weil für alle folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du
nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Setze und ein.
Fasse zusammen.
Dann folgt: und
Der Hochpunkt liegt nach der Abbildung bei . (Deshalb ist auch kein weiterer Nachweis erforderlich.)
Berechne den Funktionswert an der Stelle .
Gib die Wertemenge von an und begründe Deine Angabe
, das ist die linke Intervallgrenze.
ist der einzige Hochpunkt, der y-Wert ist der größte auftretende Wert, das ist die rechte Intervallgrenze.
.
Ermitteln Sie die Größe des Winkels, unter dem sich die Tangente an im Koordinatenursprung und die Gerade durch und schneiden. [4 BE]
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- Berechne die Steigung der Tangente an den Graphen im Ursprung.
- Berechne die Steigung der Verbindungsgeraden der beiden Extrema durch die Punkte und .
- Der gesuchte Winkel ist die Differenz der beiden berechneten Winkel.
Ermittle die Größe des Winkels, unter dem sich die Tangente an im Koordinatenursprung und die Gerade durch und schneiden
Steigung der Tangente an den Graphen im Ursprung:
Gesucht ist die Steigung der Verbindungsgeraden der beiden Extrema durch die Punkte und
Dann gilt für die Winkel:
und
Der gesuchte Winkel ist die Differenz der beiden berechneten Winkel:
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Die erste Ableitungsfunktion von besitzt ein globales Maximum.
Beschreiben Sie, wie man dieses Maximum berechnen kann. [2 BE]
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- Berechne die 2. Ableitung von .
- Löse die Gleichung .
- Die erhaltenen Werte werden in die 1. Ableitung eingesetzt.
- Der größte dieser Werte ist das globale Maximum.
Beschreibe, wie man dieses Maximum berechnen kann
- Berechne die 2. Ableitung von .
- Löse die Gleichung .
- Die erhaltenen Werte werden in die 1. Ableitung eingesetzt.
- Der größte dieser Werte ist das globale Maximum.
Die beim Abbremsen eines Elektroautos frei werdende Energie kann teilweise genutzt werden, um der Batterie des Elektroautos wieder Energie zuzuführen. Über einen Zeitraum von 13 Sekunden, beginnend zehn Sekunden vor Beginn eines Bremsvorgangs, wird der Ladezustand der Batterie eines Elektroautos beobachtet. Die Funktion beschreibt für modellhaft die momentane Änderungsrate der in der Batterie gespeicherten Energie. Der Betrag von gibt den zeitlichen Abstand zum Beginn des Bremsvorgangs in Sekunden an; negative x-Werte beziehen sich auf Zeitpunkte vor Beginn des Bremsvorgangs. ist die momentane Änderungsrate der in der Batterie gespeicherten Energie in Kilojoule pro
Sekunde.
Geben Sie im Sachzusammenhang die Bedeutung des Hochpunkts unter Berücksichtigung seiner Koordinaten an. [2 BE]
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- Es ist .
- Was wird nach Bremsbeginn erreicht?
Gib im Sachzusammenhang die Bedeutung des Hochpunkts unter Berücksichtigung seiner Koordinaten an
Es ist , d. h. nach Bremsbeginn lädt die Batterie sich am stärksten mit auf. Bei gibt es die größte Änderungsrate der Energie.
Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung die Länge der Zeitspanne auf Sekunden genau, in der der Batterie mindestens drei Kilojoule pro Sekunde entnommen werden. [2 BE]
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- Zeichne eine Parallele zur x-Achse bei .
- Die beiden Schnittpunkte dieser Geraden mit begrenzen das Zeitintervall.
Bestimme mithilfe der Abbildung die Länge der Zeitspanne auf Sekunden genau, in der der Batterie mindestens drei Kilojoule pro Sekunde entnommen werden
Zeichne eine Parallele zur x-Achse bei . (Unterhalb der x-Achse findet ein Energieverlust statt.)
Die beiden Schnittpunkte dieser Geraden mit begrenzen das Zeitintervall.
Das Zeitintervall, in dem die Batterie mindestens verliert, beträgt rund .
Es gilt . Interpretieren Sie den Wert des Integrals im
Sachzusammenhang. [2 BE]
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- Das Integral berechnet die Flächenbilanz im Intervall .
- Was besagt der negative Wert?
Interpretiere den Wert des Integrals im Sachzusammenhang
Das Integral berechnet die Flächenbilanz im Intervall und diese ist negativ. Die Batterie verliert in diesem Zeitraum insgesamt .
Betrachtet wird die Schar der in definierten Funktionen mit . Der Graph von wird mit bezeichnet.
Zeichnen Sie in die Abbildung ein. Geben Sie an, wie für aus hervorgeht. [3 BE]
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Teil 1
- Für ist . Was bedeutet das?
Teil 2
- Was ändert sich für ?
Zeichne in die Abbildung ein
Gib an, wie für aus hervorgeht
Für ist , d. h. wird an der x-Achse gespiegelt.
( ist orangefarbig.)
Für wird der Graph von um a-Einheiten in positive y-Richtung verschoben.
Geben Sie diejenigen Werte von an, für die und genau zwei Schnittpunkte besitzen. [3 BE]
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- In der Abbildung zu Aufgabe h) haben die Graphen und genau zwei Schnittpunkte, d. h., hier ist .
- Wird vergrößert, dann bleiben die beiden Schnittpunkte erhalten, solange der Tiefpunkt von unterhalb des Hochpunktes von bleibt.
- Wie groß muss sein, damit der Tiefpunkt unterhalb des Hochpunktes bleibt?
- Es gibt noch einen weiteren Wert für , bei dem die Graphen und genau zwei Schnittpunkte haben.
- Der Hochpunkt von muss auf den Tiefpunkt von fallen.
- Wann ist das der Fall?
In der Abbildung zu Aufgabe h) haben die Graphen und genau zwei Schnittpunkte, d. h., hier ist .
Wird vergrößert, dann bleiben die beiden Schnittpunkte erhalten, solange der Tiefpunkt von unterhalb des Hochpunktes von bleibt.
Die y-Koordinate des Hochpunktes ist und der Tiefpunkt von muss um verschoben werden, damit der Tiefpunkt auf den Hochpunkt fällt.
Damit der Tiefpunkt unterhalb des Hochpunktes bleibt, muss sein.
Insgesamt gilt dann:
Für haben die Graphen und genau zwei Schnittpunkte.
Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
(Rechts und links von sind die beiden Schnittpunkte.)
Es gibt noch einen weiteren Wert für , bei dem die Graphen und genau zwei Schnittpunkte haben. Der Hochpunkt von muss auf den Tiefpunkt von fallen.
Das ist der Fall, wenn ist.
Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Betrachtet wird nun die Schar der in definierten Funktionen
mit und .
Ermitteln Sie und so, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
I Der Graph von hat die Gerade mit der Gleichung als Asymptote.
II Die x-Koordinate des Tiefpunkts des Graphen von ist .
[3 BE]
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- Nach Aufgabe h) hat die x-Achse als Asymptote. Demnach muss um 2 nach oben verschoben werden.
- Der ursprüngliche Tiefpunkt von liegt bei . Der Faktor vor dem bewirkt eine Streckung/Stauchung mit dem Faktor in x-Richtung.
- Ansatz: . Löse nach auf.
Ermittle und
Nach Aufgabe h) hat die x-Achse als Asymptote. Demnach muss um 2 nach oben verschoben werden.
Der ursprüngliche Tiefpunkt von liegt bei .
Der Faktor vor dem bewirkt eine Streckung/Stauchung mit dem Faktor in x-Richtung.
Das führt zu dem folgenden Ansatz:
Umformung: \cdot b
Löse nach auf.
Umformung: :(-0,5)
Für und sind die beiden Bedingungen erfüllt.
Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
