FOS T12
Aufgabe 1
Gegeben ist die reelle Funktion mit und .
Begründen Sie die folgenden Aussagen:
a) Für berührt der Graph von die x-Achse in genau einem Punkt.
b) Für ist der Graph der Funktion weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur y-Achse. [4 BE]
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a)
- Gegeben: und
- Betrachte nur den Term . Kann dieser Term null werden?
- Für welches ist der Term gleich null?doppelte Nullstelle
- Was bedeutet eine doppelte Nullstelle?
b)
- Multipliziere den Funktionsterm aus und betrachte die Exponenten.
a) Für berührt der Graph von die x-Achse in genau einem Punkt
Gegeben: und
Wenn ist, dann ist der Term für alle und ergibt demnach keine Nullstelle.
Der Term wird gleich null für . Es liegt bei eine doppelte Nullstelle vor, d. h. berührt die x-Achse.
b) Für ist der Graph der Funktion weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur y-Achse
Der Funktionsterm enthält für sowohl gerade als auch ungerade Exponenten und ist demnach weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur y-Achse.
Alternative Lösung
Wenn der Graph punkt- oder achsensymmetrisch ist, müssen die Nullstellen inklusive der Vielfachheit symmetrisch zum Ursprung liegen. Für ist das nach a) nicht der Fall, für wird das im folgenden Teil der Aufgabe nachgerechnet. Daher liegt keine Symmetrie vor.
Bestimmen Sie in Abhängigkeit des Parameters für alle Nullstellen von und geben Sie jeweils die Vielfachheit der Nullstelle an. [4 BE]
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- Verwende den Satz vom Nullprodukt. Betrachte die beiden Faktoren.
- Fallunterscheidung:
- , was folgt?
- , was folgt?
- und , was folgt?
Bestimme in Abhängigkeit des Parameters für alle Nullstellen von und gib jeweils die Vielfachheit der Nullstelle an
Es gilt: und
Verwende den Satz vom Nullprodukt.
1. Faktor:
2. Faktor:
Fallunterscheidung:
1: und
Bei liegt eine vierfache Nullstelle vor.
2: und
Bei liegt eine dreifache Nullstelle vor und bei eine einfache Nullstelle.
3: und
Es gibt eine doppelte Nullstelle bei und jeweils eine einfache Nullstelle bei und .
In den weiteren Teilaufgaben wird die Funktion betrachtet.
Es gilt:
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten des Graphen der Funktion und ermitteln Sie die Koordinaten und die Art des relativen Extrempunktes von . [7 BE]
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- Notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist .
- Berechne die 1. Ableitung und löse die Gleichung.
- Aus Aufgabe b) ist bekannt: Bei liegt eine dreifache Nullstelle vor. Hier ist auch Polynomdivision
- Erstelle eine Monotonietabelle.
- Berechne den Funktionswert.
Untersuche das Monotonieverhalten des Graphen der Funktion und ermittle die Koordinaten und die Art des relativen Extrempunktes von
Gegeben: .
Notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist :
Aus Aufgabe b) ist bekannt: Bei liegt eine dreifache Nullstelle vor. Hier ist auch .
Polynomdivision:
Löse nun die Gleichung mit der Mitternachtsformel:
Setze und ein.
und
ist eine dreifache Nullstelle von , also liegt bei ein Terrassenpunkt vor.
Erstelle eine Monotonietabelle:
Berechne den Funktionswert:
Es gibt einen relativen Tiefpunkt .
Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und geeigneter weiterer Funktionswerte den Graphen im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE=2 cm.
[3 BE]
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- Erstelle eine Wertetabelle.
- Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Zeichne unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und geeigneter weiterer Funktionswerte den Graphen im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle:
x | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | -1,69 | -1 | -0,19 | 0 | 0,31 | 3 | |
TP | TEP |
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Betrachtet wird nun eine weitere Funktion mit der Definitionsmenge .
Ihr Graph und der Graph schließen im I. und IV. Quadranten je ein
endliches Flächenstück ein. Zeichnen Sie zunächst in das vorhandene Koordinatensystem aus Aufgabe d) ein und berechnen Sie anschließend die Maßzahl des gesamten Flächeninhalts der beiden Flächenstücke. Die Integrationsgrenzen dürfen aus der Zeichnung abgelesen werden. [5 BE]
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Teil 1
- ist eine um nach unten verschobene Normalparabel. Zeichne sie ein.
Teil 2
- Berechne .
Zeichne zunächst in das vorhandene Koordinatensystem aus Aufgabe d) ein
ist eine um nach unten verschobene Normalparabel.
Anmerkung: Die markierte Fläche beträgt .
Berechne die Maßzahl des gesamten Flächeninhalts der beiden Flächenstücke
Die Maßzahl des gesamten Flächeninhalts der beiden Flächenstücke beträgt .