Die Abbildung zeigt modellhaft einen Ausschnitt einer Berglandschaft einer Modelleisenbahn in einem kartesischen Koordinatensystem des . Der Boden der Modelleisenbahn liegt in der -Koordinatenebene.
Die Punkte und legen eine Flanke der Berglandschaft fest. Das Dreieck liegt in der Ebene . Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Zentimeter.
Auf die Mitführung von Einheiten kann bei den Rechnungen verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform.
[Mögliches Ergebnis: ] [4 BE]
Lösung anzeigen
- Gegeben sind die Punkte und .
- Berechne den Normalenvektor .
- Ebenengleichung in Normalenform
Ermittle eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform
Gegeben sind die Punkte und .
Berechne den Normalenvektor :
mit gekürzter Normalenvektor
Ebenengleichung in Normalenform:
Berechne das Skalarprodukt:
Eine Stromleitung der Modelleisenbahn verläuft näherungsweise geradlinig durch die Punkte und . Es gilt: .
1 Die Stromleitung soll mit einem Mast , der senkrecht zur -Koordinatenebene verläuft, gehalten werden. Ermitteln Sie die Koordinaten des Verankerungspunktes und die Höhe des Mastes. [4 BE]
2 Im Schwerpunkt des Dreiecks soll eine Halterung für die Berglandschaft angebracht werden. Der Verankerungspunkt soll vom Punkt einen Mindestabstand von haben. Überprüfen Sie, ob diese Vorgabe eingehalten wird. [4 BE]
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Teil 1
Koordinaten von :
- Der Mast verläuft senkrecht zur -Koordinatenebene durch den Punkt .
- Schneide mit .
- Setze in ein.
- Höhe berechne Berechne dann den Betrag dieses Vektors.
Teil 2
- Der Schwerpunkt des Dreiecks :
- Berechne und vergleiche mit der Vorgabe.
1 Ermittle die Koordinaten des Verankerungspunktes
Der Mast verläuft senkrecht zur -Koordinatenebene durch den Punkt .
Schneide mit :
Die Koordinaten des Verankerungspunktes sind .
Ermittle die Höhe des Mastes
Berechne :
Die Höhe des Mastes beträgt .
2 Überprüfe, ob die Vorgabe eingehalten wird
Der Schwerpunkt des Dreiecks :
Berechne :
Vorgabe: Der Verankerungspunkt soll vom Punkt einen Mindestabstand von habendie Vorgabe wird eingehalten.
Die Punkte und legen eine Ebene fest, in der sich die Flanke eines weiteren Berges befindet. Die Ebenen und schneiden sich senkrecht. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform. Berechnen Sie auch das Maß des Neigungswinkels der Ebene zur -Koordinatenebene.
[ Mögliches Teilergebnis: ] [6 BE]
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Teil 1
- Der Vektor liegt auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen und , d. h. er ist ein Richtungsvektor der Ebene .
- Die beiden Ebenen stehen senkrecht aufeinander, d. h. der Normalenvektor von ist auch ein Richtungsvektor von .
Teil 2
- Für den Winkel gilt:
- Dabei ist der Normalenvektor der Ebene und der Normalenvektor der Ebene.
Ermittle eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform
Der Vektor liegt auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen und , d. h. er ist ein Richtungsvektor der Ebene .
Die beiden Ebenen stehen senkrecht aufeinander, d. h. der Normalenvektor von ist auch ein Richtungsvektor von .
mit gekürzter Normalenvektor
Ebenengleichung in Normalenform:
Berechne das Skalarprodukt:
Berechne das Maß des Neigungswinkels der Ebene zur -Koordinatenebene
Für den Winkel gilt:
Dabei ist der Normalenvektor der Ebene und der Normalenvektor der Ebene.
und
Die Größe des Winkels, den mit der Ebene einschließt, beträgt rund .