FOS T12
Aufgabe 2
Um die Wasserqualität in einem See zu überprüfen, wird die Konzentration an Mikroalgen
in Wasserproben in verschiedenen Testreihen jeweils über Tage hinweg regelmäßig
untersucht. Die Ausbreitung der Algen in den Gewässern Königsee und Kaisersee soll
dabei in Abhängigkeit von der Zeit näherungsweise durch geeignete reelle
Modellfunktionen beschrieben werden.
Dabei gibt mit die seit Beobachtungsbeginn verstrichene Zeit in Tagen
und der Funktionswert die Anzahl der Mikroalgen in Millionen pro Liter Wasser an.
Runden Sie die Ergebnisse gegebenenfalls sinnvoll. Bei den Berechnungen kann auf das
Mitführen von Einheiten verzichtet werden
In einer ersten Testreihe wurde Tage lang je ein Liter Wasser aus dem Königsee entnommen und die Anzahl enthaltener Mikroalgen ermittelt.
Nachfolgende grafische Abbildung basiert auf den gewonnenen Messdaten.
Bestimmen Sie und so, dass die Funktion mit eine geeignete Modellfunktion ist. Werte sind dem Diagramm zu entnehmen.
Ermitteln Sie anschließend näherungsweise den Wert von und geben Sie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an. [5 BE]
Lösung anzeigen
Teil 1
- Aus der Abbildung entnimmst Du die Koordinaten der beiden Punkte und . Setze in ein und bestimme und .
Teil 2
- Hier wurde ein Durchschnittswert berechnet. Welcher Durchschnitt?
Bestimme und so, dass die Funktion mit eine geeignete Modellfunktion ist
Aus der Abbildung entnimmst Du die Koordinaten der beiden Punkte und .
Mit diesen beiden Punkten und dem Ansatz folgt:
:
:
Löse diese Gleichung nach auf.
Umformung: :50
Löse nach auf.
Umformung: \ln
Umformung: \cdot (-1)
Umformung: -1,2
Umformung: :2
Ermittle anschließend näherungsweise den Wert von und gib die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an
Bekannt:
Hier wurde ein Durchschnittswert berechnet.
Innerhalb der ersten Tage hat die Anzahl der Mikroalgen um durchschnittlich Millionen Mikroalgen pro Tag zugenommen.
In einer zeitgleich gestarteten zweiten Testreihe aus dem Kaisersee konnte die Anzahl der Mikroalgen in Millionen pro Liter Wasser (Algenkonzentration) in Abhängigkeit von der Zeit mit und näherungsweise durch die Funktion modelliert werden.
1 Berechnen Sie nach diesem Modell die maximale Algenkonzentration im Kaisersee während des gesamten Beobachtungszeitraums der zweiten Testreihe.
[ mögliches Teilergebnis: ] [7 BE]
2 Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse sowie weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der zweiten Testreihe für in das vorhandene Koordinatensystem in a) ein. Entnehmen Sie der Zeichnung näherungsweise, an welchem Tag sich bei den beiden Testreihen die Mikroalgenkonzentration in den beiden Seen maximal unterscheidet. [4 BE]
Lösung anzeigen
1
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Berechne die 1. Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel und löse die Gleichung und . Beachte den Beobachtungszeitraum.
- Erstelle eine Monotonietabelle.
- Berechne den Funktionswert des Hochpunktes.
2
Teil 1
- Erstelle eine Wertetabelle.
- Übertrage die Punkte in das Koordinatensystem aus Aufgabe a) und verbinde sie.
Teil 2
- Wo befindet sich in der Abbildung der maximale Unterschied der Konzentrationen?
1 Berechne nach diesem Modell die maximale Algenkonzentration im Kaisersee während des gesamten Beobachtungszeitraums der zweiten Testreihe
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Berechne die 1. Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel und löse die Gleichung :
Klammere aus:
Wegen folgt mit dem Satz vom Nullprodukt .
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel:
Setze und ein.
und
Der Wert liegt nicht im Beobachtungszeitraum.
Erstelle eine Monotonietabelle:
Randtiefpunkt | HP |
Es gibt bei einen relativen Hochpunkt. Im Beobachtungszeitraum gibt es keinen weiteren Vorzeichenwechsel, d. h. bei befindet sich das absolute Maximum der Algenkonzentration.
Berechne den Funktionswert:
Die maximale Algenkonzentration im Kaisersee während des gesamten Beobachtungszeitraums der zweiten Testreihe beträgt rund Millionen Mikroalgen pro Liter Wasser.
2 Zeichne unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse sowie weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der zweiten Testreihe für in das vorhandene Koordinatensystem in a) ein
Erstelle eine Wertetabelle.
x | 0 | 1 | 2 | 4,24 | 8 | 12 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
5 | 20 | 36,55 | 50,57 | 37,31 | 25,32 | 22,67 | |
Randtiefpunkt | HP |
Übertrage die Punkte in das Koordinatensystem aus Aufgabe a) und verbinde sie.
Entnimm der Zeichnung näherungsweise, an welchem Tag sich bei den beiden Testreihen die Mikroalgenkonzentration in den beiden Seen maximal unterscheidet
Der Abbildung kannst Du entnehmen, dass der maximale Unterschied der Konzentrationen in der Nähe der maximalen Konzentration von liegt, d. h. nach rund Tagen.