FOS BOS T12
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge .
Der zugehörige Graph wird mit bezeichnet.
Runden Sie gegebenenfalls Ihre Ergebnisse auf zwei Dezimalen.
Bestimmen Sie nachvollziehbar das Verhalten von für . [2 BE]
Lösung anzeigen
- Berechne .
Bestimme nachvollziehbar das Verhalten von für
, da die e-Funktion überwiegt.
(Die Exponentialfunktion strebt viel schneller gegen null, als die Potenzfunktion gegen unendlich wächst.)
Bestimmen Sie jeweils die Art und die Koordinaten aller relativen Extrempunkte des Graphen von .
[ Mögliches Teilergebnis: ] [8BE]
Lösung anzeigen
- Berechne mithilfe der Produkt - und Kettenregel die 1. Ableitung von .
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Löse die Gleichung .
- Beachte die Definitionsmenge und .
- Erstelle eine Monotonietabelle.
Bestimme jeweils die Art und die Koordinaten aller relativen Extrempunkte des Graphen von
Berechne mithilfe der Produkt - und Kettenregel die 1. Ableitung von .
Gegeben:
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Löse die Gleichung .
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt wegen :
oder
Beachte die Definitionsmenge . Dann ist aber .
Der Wert . Somit ist die einzige Nullstelle von .
Erstelle eine Monotonietabelle:
n. def. | ||||
Randtiefpunkt | HP |
Randtiefpunkt
Anmerkung: , für alle ist , also muss bei ein Minimum (Randtiefpunkt) liegen.
hat einen Randtiefpunkt und einen Hochpunkt mit den Koordinaten .
Bestimmen Sie die Stelle, an der das stärkste Gefälle aufweist. [8 BE]
Lösung anzeigen
- Berechne mithilfe der Produkt - und Kettenregel die 2. Ableitung von .
- Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist .
- Löse die Gleichung .
- Erstelle eine Monotonietabelle.
Bestimme die Stelle, an der das stärkste Gefälle aufweist
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist .
Berechne mithilfe der Produkt - und Kettenregel die 2. Ableitung von .
Gegeben:
Löse die Gleichung .
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt wegen :
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Setze und ein.
und
Erstelle eine Monotonietabelle:
HP | TP |
Das stärkste Gefälle von liegt bei .
Es ist ein Gefälle, da .
Überprüfe noch, ob das Gefälle bei eventuell kleiner als ist.
Betrachte hier den Grenzwert von für .
Es bleibt beim stärksten Gefälle bei .
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem.
Maßstäbe: x-Achse: 2 LE= 1 cm ; y-Achse: 10 LE= 1 cm [3 BE]
Lösung anzeigen
- Erstelle eine Wertetabelle.
- Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle:
x | 0 | 2 | 2,34 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 13,66 | 14 | 16 | 18 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 17,93 | 22,54 | 43,49 | 59,35 | 64 | 60,65 | 52,96 | 45,33 | 43,71 | 34,65 | 26,61 | 19,91 | |
Randtiefpunkt | WP | HP | WP |
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
