FOS NT12 2026 Analysis II
Aufgabe 2
In einem Labor wurde das Wachstum von Pflanzen aus neu gezüchtetem Saatgut unter Wassermangel untersucht. Die Höhe einer bestimmten Pflanze (in Zentimeter über der Pflanzerde) wird durch die Funktion mit der Funktionsgleichung mit und modellhaft beschrieben. Dabei steht die Variable für die Zeit in Tagen ab dem Pflanzen des Samens . Negative Funktionswerte von bedeuten in diesem Modell, dass sich die Pflanze noch in der Pflanzerde befindet.
Auf das Mitführen von Einheiten während der Rechnungen wird verzichtet. Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle.
Berechnen Sie, in welcher Tiefe der Samen in die Pflanzerde eingesetzt wurde.
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- Berechne H(0).
Berechne, in welcher Tiefe der Samen in die Pflanzerde eingesetzt wurde
Gegeben ist , mit .
Die Samen wurden in Tiefe in die Erde gepflanzt ( unter der Erdoberfläche).
Drei Tage nach der Aussaat beträgt die Höhe der Pflanze über der Pflanzerde. Bestimmen Sie den Wert des Parameters so, dass die Modellfunktion diesen Sachverhalt beschreibt.
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- Bekannt: .
- Löse diese Gleichung nach auf.
Bekannt: .
Umformung: :43
Löse nach auf.
Umformung: \ln
Umformung: :(-3)
Im Folgenden gilt:
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Pflanze ihre maximale Höhe erreicht, sowie die maximale Höhe über der Pflanzerde.
[Mögliches Teilergebnis: ]
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Teil 1
- Berechne die 1. Ableitung mithilfe der Produkt- und Kettenregel.
- Löse die Gleichung .
- Die Lösung der erhaltenen quadratischen Gleichung kann mit der Mitternachtsformel erfolgen. Beachte, dass die Lösungen im Definitionsbereich von liegen müssen.
Teil 2
- Berechne den Funktionswert.
Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Pflanze ihre maximale Höhe erreicht
Gegeben:
Berechne die 1. Ableitung mithilfe der Produkt- und Kettenregel:
Löse die Gleichung :
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
Die quadratische Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Setze und ein.
und ;
Es handelt sich um eine wachsende Pflanze, d. h. bei liegt ein Maximum vor. Das Maximum ist absolut, da es keine weitere Extremstelle im Definitionsbereich gibt.
Nach Tagen hat die Pflanze ihre maximale Höhe erreicht.
Berechne die maximale Höhe über der Pflanzerde
Berechne den Funktionswert:
(Randuntersuchung: und )
Die maximale Höhe der Pflanze über der Erde beträgt rund .
Berechnen Sie die durchschnittliche Wachstumsrate der Pflanze in den ersten drei Tagen nach dem Pflanzen des Samens.
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- Berechne .
Berechne die durchschnittliche Wachstumsrate der Pflanze in den ersten drei Tagen nach dem Pflanzen des Samens
Nach Aufgabe a) ist und nach Aufgabe b) ist .
Die durchschnittliche Wachstumsrate in den ersten drei Tagen beträgt rund .
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem.
Wählen Sie für beide Achsen einen geeigneten Maßstab.
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- Erstelle eine Wertetabelle.
- Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle.
0 | 2 | 3 | 4 | 6 | 9 | 14 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
-2 | 6,6 | 9,6 | 10,6 | 8,9 | 4,5 | 0,9 |
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Ermitteln Sie mithilfe der Zeichnung aus e) nachvollziehbar den Zeitraum, in welchem die Höhe der Pflanze über der Pflanzerde der maximalen Höhe beträgt.
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- Die Pflanze hat ihrer Maximalhöhe erreicht. Berechne von der maximalen Höhe.
- Zeichne die Gerade in die Zeichnung zu e). Du erhältst zwei Schnittpunkte mit .
- Die Differenz der beiden x-Werte ergibt die gesuchte Zeitspanne in Tagen.
Ermittle mithilfe der Zeichnung aus e) nachvollziehbar den Zeitraum, in welchem die Höhe der Pflanze über der Pflanzerde der maximalen Höhe beträgt
Die Pflanze hat ihrer Maximalhöhe erreicht
Zwischen den beiden gerundeten Zeitpunkten und beträgt die Pflanzenhöhe mindestens ihrer Maximalhöhe:
Zeitraum Tage.