Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion mit ihrer Definitionsmenge .
Der zugehörige Graph wird mit bezeichnet.
Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte von bei Annäherung an die Ränder von . Geben Sie auch die Art und die Gleichung der Asymptote von an. [5 BE]
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Teil 1
- Berechne die Nullstellen des Zählerterms , überprüfe zunächst die Diskriminante.
Teil 2
- Der Grad des Zählerterms ist gleich dem Grad des Nennerterms (2). ist dann die Asymptote, wobei der Koeffizient der höchsten Zählerpotenz und der Koeffizient der höchsten Nennerpotenz ist.
Teil 3
- Es handelt sich um eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung aus Teil 2.
Untersuche die Funktion auf Nullstellen
Berechne die Nullstellen des Zählerterms , überprüfe zunächst die Diskriminante.
die Funktion hat keine Nullstellen.
Bestimme das Verhalten der Funktionswerte von bei Annäherung an die Ränder von
Der Grad des Zählerterms ist gleich dem Grad des Nennerterms (2).
ist dann die Asymptote, wobei der Koeffizient der höchsten Zählerpotenz und der Koeffizient der höchsten Nennerpotenz ist
Gib auch die Art und die Gleichung der Asymptote von an
Es handelt sich um eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung .
Bestimmen Sie die Art und die Koordinaten der relativen Extrempunkte von .
Begründen Sie, dass die relativen Extrempunkte von auch absolute Extrempunkte von sind.
[mögliches Teilergebnis: ] [8 BE]
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Teil 1
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Berechne mit der Quotientenregel die 1. Ableitung und löse die Gleichung und .
- Bei und hat waagerechte Tangenten. Erstelle eine Monotonietabelle.
- Berechne die Funktionswerte und gib die Koordinaten der Extrema an.
Teil 2
- hat die waagerechte Asymptote . Was bedeutet das für die Extrema?
Bestimme die Art und die Koordinaten der relativen Extrempunkte von
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Berechne mit der Quotientenregel die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
Berechne die Nullstellen des Zählerterms mit der pq-Formel:
Setze und ein.
Du hast die beiden Lösungen und erhalten.
Bei und hat waagerechte Tangenten. Erstelle eine Monotonietabelle:
HP | TP |
Es gibt also bei einen relativen Tiefpunkt und bei einen relativen Hochpunkt.
Berechne die Funktionswerte:
und
Die relativen Extremwerte besitzen die Koordinaten und .
Begründe, dass die relativen Extrempunkte von auch absolute Extrempunkte von sind
Es gibt nur zwei Stellen mit waagerechter Tangente, d. h. hier liegen die beiden Extrema. Da nach Aufgabe a) die waagerechte Asymptote hat, sind die relativen Extrempunkte von auch die absoluten Extrempunkte von .
Zeichnen Sie den Graphen und seine Asymptote im Bereich unter Verwendung vorliegender Ergebnisse sowie weiterer Funktionswerte in ein Koordinatensystem.
Maßstab auf der x-Achse: , Maßstab auf der y-Achse: .
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- Erstelle eine Wertetabelle.
- Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
- Beachte den Maßstab für die Koordinatenachsen.
Zeichne den Graphen und seine Asymptote im Bereich unter Verwendung vorliegender Ergebnisse sowie weiterer Funktionswerte in ein Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle:
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
p(x) | 2,44 | 2,48 | 2,53 | 2,59 | 2,64 | 2,67 | 2,62 | 2,40 | 2,00 | 1,60 | 1,39 | 1,33 | 1,36 | 1,41 | 1,47 | 1,52 | 1,56 |
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie. Beachte den Maßstab für die Koordinatenachsen.
Ein kleiner Fluss ist in der Vergangenheit bei Starkregen schon öfter über die Ufer getreten. Der Pegelstand dieses Flusses ist als Höhe des Wasserstandes direkt an der Pegellatte mit festgelegtem Pegelnullpunkt zu verstehen. Zur Vermeidung von weiteren Überschwemmungen wurden Flutpolder erbaut, die die Wassermassen teilweise aufnehmen können. Bei Starkregenereignissen wird der Verlauf des Pegelstandes des Flusses beobachtet. Ggf. werden die Schleusen der Polder geöffnet. Die Messdaten aus einem der letzten Starkregenereignisse lassen erkennen, dass der Pegelstand ab Einsetzen des Starkregens kontinuierlich angestiegen ist, bis die Polderschleusen geöffnet wurden. Nach dem Öffnen der Schleusen ist der Pegelstand gesunken. Die Funktion beschreibt für modellhaft den zeitlichen Verlauf des Pegelstandes des Flusses, wobei die verstrichene Zeit in Stunden ab dem Einsetzen des Starkregens und den Pegelstand in Metern angibt.
Geben Sie unter Verwendung der Ergebnisse aus den Aufgaben a) bis c) an, nach wie vielen Stunden ab Einsetzen des Regens die Polderschleusen geöffnet wurden. Geben Sie auch an, in welchem Bereich die im Zeitraum beobachteten Pegelstände liegen. [3 BE]
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Teil 1
- Der Polder wird am höchsten Wasserstand geöffnet. Gib die Zeit in Stunden an.
Teil 2
- Bestimme den Wertebereich von .
Gib unter Verwendung der Ergebnisse aus den Aufgaben a) bis c) an, nach wie vielen Stunden ab Einsetzen des Regens die Polderschleusen geöffnet wurden
Der Polder wird am höchsten Wasserstand () bei , d. h. nach Stunden geöffnet.
Gib auch an, in welchem Bereich die im Zeitraum beobachteten Pegelstände liegen
Die beobachteten Pegelstände liegen zwischen den y-Koordinaten des Tief- und Hochpunktes, d. h. im Bereich .
Bereits ab einem Pegelstand von Metern wird eine Hochwasserwarnung herausgegeben. Berechnen Sie, nach welcher Zeit ab dem Einsetzen des Regens erstmalig eine Hochwasserwarnung herausgegeben wurde. [4 BE]
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- Pegelstand von Meter löse die Gleichung .
Berechne, nach welcher Zeit ab dem Einsetzen des Regens erstmalig eine Hochwasserwarnung herausgegeben wurde
Pegelstand von Meter
Umformung: \cdot (x^2-16x+73)
Löse nach auf.
Multipliziere die Klammer aus.
Umformung: -2x^2+36x-178
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Setze und ein.
Fasse zusammen.
Du hast die Lösungen und erhalten.
Nach Stunden erfolgt die erstmalige Hochwasserwarnung.
Der Verlauf des Pegelstandes in den ersten Stunden kann gut durch eine Gerade , die durch Punkte und verläuft, angenähert werden. Zeichnen Sie die Gerade für in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe c) ein und ermitteln Sie eine Gleichung von . Bei anhaltendem Starkregen und ohne Schleusenöffnung lässt sich der zeitliche Verlauf des Pegelstandes auch über die ersten Stunden hinaus in guter Näherung durch die Gerade beschreiben. Erreicht der Pegelstand die 3-Metermarke, kommt es zu Überschwemmungen. Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt ohne Schleusenöffnung mit einer Überschwemmung zu rechnen gewesen wäre. [5 BE]
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Teil 1
- Zeichne die Gerade durch die Punkte und .
Teil 2
- Es gilt: mit .
- Setze die Koordinaten von Punkt ein, um zu bestimmen.
Teil 3
- Löse die Gleichung .
Zeichnen Sie die Gerade für in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe c) ein
Zeichne die Gerade durch die Punkte und .
Ermittle eine Gleichung von
Es gilt: mit .
Setze die Koordinaten von Punkt ein:
Ermittle, zu welchem Zeitpunkt ohne Schleusenöffnung mit einer Überschwemmung zu rechnen gewesen wäre
Löse die Gleichung :
Umformung: -\dfrac{178}{73}
Umformung: \cdot \dfrac{219}{10}
Nach Stunden kann mit einer Überschwemmung gerechnet werden.