Gegeben ist die Funktion mit der maximalen Definitionsmenge .
1 Ermitteln Sie die maximale Definitionsmenge von . [4 BE]
2 Berechnen Sie die Nullstellen von . [3 BE]
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Teil 1
- Die Logarithmusfunktion ist nur für positive Argumente definiert (). Daher muss der Ausdruck innerhalb des Logarithmus größer als Null sein.
- Zusätzlich darf der Nenner nicht null werden.
- Führe eine Vorzeichenanalyse des Bruchs durch.
- Die Vereinigung der beiden gültigen Bereiche aus Fall 1 und Fall 2 ergibt den gesamten Definitionsbereich der Funktion.
Teil 2
- Es ist , was folgt daraus?
- Löse die Gleichung nach auf.
1 Ermittle die maximale Definitionsmenge von
Gegeben:
Die Logarithmusfunktion ist nur für positive Argumente definiert (). Daher muss der Ausdruck innerhalb des Logarithmus größer als Null sein .
Zusätzlich darf der Nenner nicht null werden, was bedeutet , also .
Vorzeichenanalyse des Bruchs:
Ein Bruch ist positiv, wenn Zähler und Nenner das gleiche Vorzeichen haben.
Es gibt zwei Fälle:
Fall 1: Zähler und Nenner sind positiv: .
Die Schnittmenge dieser Bedingungen ist .
Fall 2: Zähler und Nenner sind negativ:
Die Schnittmenge dieser Bedingungen ist .
Zusammenführen der Intervalle:
Die Vereinigung der beiden gültigen Bereiche aus Fall 1 und Fall 2 ergibt den gesamten Definitionsbereich der Funktion.
Der Definitionsbereich ist demnach oder in Mengenschreibweise ausgedrückt .
2 Berechne die Nullstellen von
Es ist :
Löse die Gleichung nach auf.
Umformung: \cdot (4-x^2)
Umformung: +x^2-4
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Setze und ein.
und
Beide -Werte liegen im Definitionsbereich von f, d. h. die Nullstellen von sind und .
Gegeben ist nun die Funktion mit der Definitionsmenge .
Weisen Sie nach, dass die Funktion umkehrbar ist.
[Mögliches Teilergebnis: ] [4 BE]
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- Eine Funktion ist umkehrbar, wenn sie in ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend oder fallend ist.
- Berechne und untersuche, ob größer oder kleiner null ist.
Weise nach, dass die Funktion umkehrbar ist
Eine Funktion ist umkehrbar, wenn sie in ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend oder fallend ist.
Berechne :
Berechne die Ableitung des Zählers mit der Quotientenregel:
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Dann ist
Es ist .
Für alle ist der Zähler von größer null und auch der Nenner von ist größer null.
für alle .
ist streng monoton steigend auf , d. h. die Funktion ist umkehrbar.
Die Gerade berührt den Graphen der Umkehrfunktion von im Punkt .
Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden . [3 BE]
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- Ein Punkt auf dem Graphen von wird zum Punkt auf dem Graphen von .
- Der Punkt liegt auf dem Graphen von . Demnach liegt der Punkt auf dem Graphen von . Bekannt ist die Nullstelle von und damit auch von . Der gesuchte Punkt hat also die Koordinaten .
- Ansatz für die Tangentengleichung: mit und .
Ermittle eine Gleichung der Geraden
Ein Punkt auf dem Graphen von wird zum Punkt auf dem Graphen von .
Bekannt ist die Nullstelle von und damit auch von .
Der Punkt auf dem Graphen von wird zum Punkt auf dem Graphen von , also ist .
Ansatz für die Tangentengleichung:
Es ist . Dann ist
Setze die Koordinaten von ein:
Die Gleichung der Geraden lautet .
Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
