Gegeben ist die Funktion mit ihrer Definitionsmenge . Der Graph der Funktion wird mit bezeichnet.
Untersuchen Sie, ob eine Symmetrie zum Koordinatensystem besitzt.
[3 BE]
Lösung anzeigen
Prüfe und .
Untersuche, ob eine Symmetrie zum Koordinatensystem besitzt
Prüfe :
Prüfe :
ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Ermitteln Sie die exakten Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion mit der Definitionsmenge .
[Mögliches Teilergebnis: ] [6 BE]
Lösung anzeigen
- Berechne mit der Quotientenregel.
- Löse , setze dazu .
Ermittle die exakten Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion
Berechne mit der Quotientenregel:
Löse
Setze .
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Setze und ein.
keine Lösung.
Die exakten Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion sind und
Die nachfolgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen der Funktion .
Alle Nullstellen und Definitionslücken von sind in der Abbildung ersichtlich. Geben Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie jeweils die Art aller relativen Extremstellen von an.
Hinweis: Anstelle der exakten Zahlenwerte können bei der Angabe der Intervalle die in der Abbildung ersichtlichen Bezeichnungen und verwendet werden.
[4 BE]
Lösung anzeigen
- Erstelle eine Monotonietabelle.
- Gib die Art aller relativen Extremstellen von an.
Gib die maximalen Monotonieintervalle von an
Anmerkung: Die Definitionslücke ist in der Abbildung nicht dargestellt.
Erstelle eine Monotonietabelle:
Teil 1 der Tabelle von bis :
Teil 2 der Tabelle von :
- | + | ||||
ist streng monoton steigend für alle und .
ist streng monoton fallend für alle und .
Gib jeweils die Art aller relativen Extremstellen von an
An der Stelle hat einen und an der Stelle einen .
Zeigen Sie, dass die Funktion auch durch die Gleichung dargestellt werden kann und berechnen Sie das bestimmte Integral exakt. [7 BE]
Lösung anzeigen
Teil 1
- Bringe den Bruch auf den Hauptnenner .
- Erweiterte entsprechend.
Teil 2
- Integriere die Differenz.
Zeige, dass die Funktion auch durch die Gleichung dargestellt werden kann
Bringe den Bruch auf den Hauptnenner .
Erweiterte entsprechend:
Berechne das bestimmte Integral exakt
Eine Stammfunktion ist
Das bestimmte Integral hat den Wert .