Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide mit der Höhe . Die Grundfläche dieser Pyramide ist das Drachenviereck mit
dem Diagonalenschnittpunkt .
Es gilt:
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: . (2 Pkte.)
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Zeichne das Schrägbild der Pyramide , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll
- Gerade mit
- Da ist die Strecke = auf der Zeichnung lang.
Berechnen Sie das Maß des Winkels und die Längen der Strecken und .
[Ergebnisse: ] (3 Pkte.)
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- Der Winkel tritt auch im rechtwinkligen Dreieck auf. Berechne den Winkel mit dem Kosinus.
- Benutze den Satz des Pythagoras zur Berechnung der Strecke .
- Benutze den Satz des Pythagoras zur Berechnung der Strecke (alternativ benutze den Kosinussatz zur Berechnung der Strecke ).
Berechne das Maß des Winkels
Der Winkel tritt auch im rechtwinkligen Dreieck auf.
Berechne den Winkel mit dem Kosinus.
Das Maß des Winkels beträgt .
Berechne die Längen der Strecken und
Berechne zunächst die Länge der Strecke mit dem Satz des Pythagoras:
.
Die Länge der Strecke beträgt .
Berechne nun die Länge der Strecke mit dem Satz des Pythagoras:
Es ist
Die Länge der Strecke beträgt .
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Benutze den Kosinussatz zur Berechnung der Strecke :
Die Länge der Strecke beträgt .
Für Punkte gilt: . Die Punkte sind Eckpunkte von Dreiecken .
Zeichnen Sie das Dreieck für in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein.
Begründen Sie, weshalb es unter den Dreiecken kein Dreieck mit einem Flächeninhalt von gibt. (2,5 Pkte.)
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Teil 1
- Trage die Strecke in der Zeichnung ein.
Teil 2
- Der Flächeninhalt der Dreiecke ist stets kleiner als der Flächeninhalt des Dreiecks . Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks .
- Es gilt:
Zeichne das Dreieck für in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein
Es ist . Trage die Strecke in der Zeichnung ein. Du erhältst das Dreieck .
Begründe, weshalb es unter den Dreiecken kein Dreieck mit einem Flächeninhalt von gibt
Der Flächeninhalt der Dreiecke ist stets kleiner als der Flächeninhalt des Dreiecks .
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks :
Es gilt:
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt und ist somit kleiner als . Folglich kann es kein Dreieck mit einem Flächeninhalt von geben.
Die Strecke besitzt unter den Strecken die minimale Länge.
Zeichnen Sie diese Strecke in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein und berechnen Sie deren Länge. (3 Pkte.)
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Zeichne diese Strecke in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein
Die Strecke muss senkrecht auf der Strecke stehen.
Berechne die Länge der
Bekannt: Die Länge der Strecke beträgt und .
Das Dreieck ist rechtwinklig.
Dann gilt:
Weiterhin ist
Dann erhältst Du:
Die Länge der Strecke beträgt .
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Nach Aufgabe c) gilt: und .
Andererseits gilt:
Die Länge der Strecke beträgt .
Anmerkung: Die Differenz von zur angegebenen Lösung entsteht durch Rundungsfehler.
Die Punkte sind Spitzen von Pyramiden mit den Höhen .
Zeichnen Sie die Pyramide und die zugehörige Höhe in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein.
Zeigen Sie, dass für das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt:
. (4 Pkte.)
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Teil 1
- Zeichne die Pyramide und die zugehörige Höhe in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein.
Teil 2
- Es ist
- Berechne die Pyramidenhöhe mit dem Strahlensatz.
Zeichne die Pyramide und die zugehörige Höhe in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein
Zeige, dass für das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt:
Berechne die Pyramidenhöhe mit dem Strahlensatz:
Bekannt: und .
Es gilt gemäß der Skizze:
mit
Eingesetzt in die Volumenformel folgt:
In der Pyramide gilt: .
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide und den zugehörigen Wert für .
(2 Pkte.)
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- Bekannt: und
- Setze für die Höhe ein.
- Löse die Gleichung .
Berechne das Volumen der Pyramide und den zugehörigen Wert für
Bekannt: und
Setze für die Höhe ein.
Löse die Gleichung nach auf, mit .
Umformung: +9,24x-\dfrac{176}{3}
Umformung: :9,24
Der Wert für ist .