Aufgabe B4
Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide mit der Höhe , deren Grundfläche
das Quadrat mit dem Diagonalenschnittpunkt ist.
Es gilt: .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke sowie das Maß des Winkels .
(4 Pkte.)
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Zeichne das Schrägbild der Pyramide , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll
- Gerade mit
- Da ist, ist die Strecke = auf der Zeichnung lang
Berechne die Länge der Strecke
Gegeben:
Weiterhin ist .
Dann ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras:
Die Länge der Strecke beträgt .
Berechne das Maß des Winkels
Es gilt:
Das Maß des Winkels beträgt .
Für Punkte gilt: . Sie sind die Spitzen von Pyramiden mit den Höhen .
Zeichnen Sie für die Pyramide und die Höhe in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein.
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke sowie den Flächeninhalt des Dreiecks . (4 Pkte.)
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Teil 1
- Es ist
- Die Senkrechte auf durch den Punkt ergibt die Höhe .
Teil 2
- Benutze zur Berechnung der Länge der Strecke den Kosinussatz.
Teil 3
- Berechne . Setze entsprechend ein.
Zeichne für die Pyramide und die Höhe in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein
Es ist
Die Senkrechte auf durch den Punkt ergibt die Höhe .
Berechne die Länge der Strecke
Benutze zur Berechnung der Länge der Strecke den Kosinussatz.
Es gilt: , und
Die Länge der Strecke beträgt .
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
Es gilt:
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt .
Zeigen Sie, dass für das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt: .
Unter den Pyramiden hat die Pyramide das maximale Volumen.
Geben Sie den zugehörigen Wert von sowie das maximale Volumen an.
(4 Pkte.)
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Teil 1
- Das Dreieck ist gleichseitig und rechtwinklig.
- Berechne . Berechne die Pyramidenhöhe mit .
Teil 2
- Für welchen Wert von wird das Volumen maximal? Wie groß ist dann das Volumen.
Zeige, dass für das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt:
Das Dreieck ist gleichseitig und rechtwinklig.
für .
Berechne die Höhe :
Gib den zugehörigen Wert von sowie das maximale Volumen an
Für ist das Volumen maximal und .
Die Pyramide hat ein Volumen von .
Berechnen Sie den zugehörigen Wert von .
Geben Sie sodann das Intervall für an, sodass gilt: . (2,5 Pkte.)
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Teil 1
- Löse die Gleichung
Teil 2
- Das Intervall ist dann .
Berechne den zugehörigen Wert von
Löse die Gleichung für :
Umformung: -51,00
Löse nach auf.
Umformung: :(-4,92)
Der zugehörige Wert von ist .
Gib das Intervall für an, sodass gilt:
Für ist .
Die Höhe der Pyramide ist halb so lang wie die Höhe der Pyramide .
Begründen Sie, weshalb das Volumen der Pyramide achtmal so groß wie das Volumen der Pyramide ist.
(1,5 Pkte.)
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- Es ist .
- Wie groß ist ?
- Wie groß ist ?
- Setze ein und vergleiche mit .
Begründe, weshalb das Volumen der Pyramide achtmal so groß wie das Volumen der Pyramide ist
Bekannt: Die Höhe der Pyramide ist halb so lang wie die Höhe der Pyramide .
mit und