Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge .
Der Graph von in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Berechnen Sie die Nullstelle von . Bestimmen Sie außerdem das Verhalten der Funktionswerte von an den Rändern der Definitionsmenge und geben Sie die Gleichung der Asymptote von an. (7 BE)
Lösung anzeigen
Teil 1
- Beachte:
Teil 2
- Die Definitionsmenge ist .
- Wie verhält sich , wenn gegen null geht? Untersuche die Annäherung an von links und von rechts. Betrachte zunächst den Term und dann den Term .
Teil 3
- Untersuche .
Berechne die Nullstelle von
Es gilt:
Die Nullstelle von ist .
Bestimme das Verhalten der Funktionswerte von an den Rändern der Definitionsmenge
Ein Rand von ist . Die beiden anderen Ränder erhält man für .
1. Wie verhält sich , wenn gegen null geht?
Betrachte den Term :
Für strebt gegen . Dann strebt gegen .
Der Grenzwert von :
Bei Annäherung an 0 von rechts geht gegen .
Für strebt gegen . Dann strebt gegen .
Der Grenzwert von :
Bei Annäherung an 0 von links geht gegen .
2. Wie verhält sich , wenn gegen geht?
Es ist:
Gib die Gleichung der Asymptote von an
Die Gleichung der Asymptote von ist .
Ermitteln Sie das Steigungsverhalten von und geben Sie die Wertemenge von an. (5 BE)
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- Berechne die 1. Ableitung von . Beachte beim Ableitung die Kettenregel.
- Untersuche, ob größer oder kleiner null ist, für alle .
- Was folgt daraus für das Steigungsverhalten?
Ermittle das Steigungsverhalten von
Berechne die 1. Ableitung von :
Setze dann ist
Die Ableitung von ist
Beachte beim Ableitung die Kettenregel.
Löse die Klammer im Nenner auf.
Fasse zusammen.
Löse die Klammer auf.
Klammere aus und kürze.
Der Nenner der 1. Ableitung ist die Gleichung einer nach oben geöffneten Parabel mit Scheitelpunkt , d.h. für alle ist .
Damit ist auch für alle größer null.
Steigungsverhalten:
Da die erste Ableitung überall positiv ist, ist die Funktion streng monoton steigend im gesamten Definitionsbereich . Das bedeutet, dass der Graph von stets ansteigt, ohne irgendwo abzufallen.
Ergänzung:
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Betrachte den Nenner .
Forme den Term entsprechend um.
Klammere aus.
Vereinfache
Fasse zusammen.
Multipliziere die Klammer aus.
Also ist . Damit ist .
Gib die Wertemenge von an
Nach Aufgabe a) gilt:
Bei Annäherung an 0 von links geht gegen .
Bei Annäherung an 0 von rechts geht gegen .
Das Argument der Arkustangensfunktion ist .
Wenn , dann geht , also geht .
Wenn , dann geht , also geht .
Wenn , dann geht .
Die Wertemenge von ist .
Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts von .
(5 BE)
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- Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist .
- Berechne mit der Quotientenregel.
- Löse
- Überprüfe, ob ein Vorzeichenwechsel von an der Stelle vorliegt?
- Berechne den Funktionswert .
Bestimme die Koordinaten des Wendepunkts von
Es ist .
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist .
Berechne mit der Quotientenregel:
Löse :
Überprüfe, ob ein Vorzeichenwechsel von an der Stelle vorliegt?
Damit wechselt an der Stelle das Vorzeichen und es liegt ein Wendepunkt vor.
Berechne den Funktionswert:
Die Koordinaten des Wendepunkts von sind .