Gegeben ist die Funktion mit der maximalen Definitionsmenge . Der Graph von in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Zeigen Sie, dass keine Nullstellen besitzt, und geben Sie für jede Asymptote von jeweils ihre Art und eine passende Gleichung an. (4 BE)
Lösung anzeigen
Teil 1
- Für die Nullstellen löse die Gleichung setze den Zähler gleich null und löse die quadratische Gleichung.
Teil 2
- Bei Polstellen betrachtet man die Nullstellen des Nenners von .
- Ungerade Vielfachheit der Nullstelle senkrechte Asymptote bei mit Vorzeichenwechsel.
Zeige, dass keine Nullstellen besitzt
Gegeben ist .
Für die Nullstellen löse die Gleichung
Die quadratische Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Setze und ein.
Da der Radikand negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung, d.h. es gibt keine Nullstelle.
Gib für jede Asymptote von jeweils ihre Art und eine passende Gleichung an
1. Senkrechte Asymptoten
Bei Polstellen betrachtet man die Nullstellen des Nenners von :
und
Betrachte die Vielfachheit der Nullstelle:
ungerade Vielfachheit von senkrechte Asymptote bei mit Vorzeichenwechsel.
ungerade Vielfachheit von senkrechte Asymptote bei mit Vorzeichenwechsel.
2. Waagrechte Asymptoten
Betrachte den Zählergrad und den Nennergrad von :
Der Zählergrad ist gleich dem Nennergrad ist gleich waagrechte Asymptote.
Die waagrechte Asymptote ist gegeben durch das Verhältnis der führenden Koeffizienten. Es gibt eine waagrechte Asymptote bei einem
y-Wert von .
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von .
(7 BE)
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- Berechne mit der Quotientenregel. Löse die Gleichung .
- Die Polstellen und markieren den Rand des jeweiligen Monotonieintervalls.
- Berechne einige Werte von in den entsprechenden Bereichen.
Untersuche das Monotonieverhalten von
Berechne mit der Quotientenregel:
Der Nenner ist .
Die Polstellen und markieren den Rand des jeweiligen Monotonieintervalls.
Einige berechnete Werte von :
Damit erhält man folgende Monotonietabelle:
VZ von | |||||
Monotonieverhalten | |||||
HP / TP |
Demnach ist im Intervall streng monoton steigend, im Intervall streng monoton steigend, im Intervall streng monoton fallend und im Intervall streng monoton fallend.
Anmerkung: Polstellen mit einem Vorzeichenwechsel führen zu einem Wechsel im Monotonieverhalten. An den Polstellen ist nicht definiert, d.h. diese Stellen müssen in den entsprechenden Intervallen ausgenommen werden.
Hier wird eine offene Klammer bzw. gesetzt.
Zeichnen Sie den Graphen von zusammen mit seinen Asymptoten für unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem. () (4 BE)
Lösung anzeigen
- Berechne einige geeignete Funktionswerte und zeichne den Graphen.
Zeichne den Graphen von zusammen mit seinen Asymptoten für unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem
Einige geeignete Funktionswerte:
x | |||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | |||||||||||||
Gegeben ist die Funktion mit der maximalen Definitionsmenge .
1. Begründen Sie, dass gilt: . Bestimmen Sie außerdem die Anzahl der Extremstellen und die Anzahl der Nullstellen der Funktion . (4 BE)
2. Berechnen Sie den exakten Wert von .
(7 BE)
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1. Begründe, dass gilt:
- Die gefundene Funktion ist nicht definiert an den Stellen und Die Funktion soll die maximale Definitionsmenge haben.
- Was folgt daraus, wenn zum Definitionsbereich gehören muss?
Anzahl der Extremstellen
- Es gilt: und ist für alle ungleich null.
- Was folgt daraus für ? Welche Schlussfolgerung ergibt sich daraus?
Anzahl der Nullstellen
- Jede Integralfunktion hat an ihrer unteren Grenze eine Nullstelle.
2. Berechne den exakten Wert von F(2)
- Bestimme eine integralfreie Form des Funktionsterms . Löse das Integral zunächst unbestimmt.
- Forme dazu umPolynomdivision
- Wende für das Integral eine Partialbruchzerlegung an
- Berechne
1 Begründe, dass gilt:
Die Funktion ist nicht definiert an den Stellen und .
Die Funktion soll die maximale Definitionsmenge haben. Da zum Definitionsbereich gehören muss, ist das größte Intervall in dem liegt, das Intervall . Also ist .
Bestimme außerdem die Anzahl der Extremstellen und die Anzahl der Nullstellen der Funktion
Anzahl der Extremstellen
Es gilt: und ist für alle größer null. Damit ist auch für alle größer null, d.h. hat keine Nullstellen es gibt keine Extrema.
Anzahl der Nullstellen
Jede Integralfunktion hat an ihrer unteren Grenze eine Nullstelle.
hat an der Stelle eine Nullstelle. Da für streng monoton steigend ist, gibt es keine weiteren Nullstellen in diesem Intervall, d.h. die Anzahl der Nullstellen ist eins.
2. Berechne den exakten Wert von
Bestimme eine integralfreie Form des Funktionsterms . Löse das Integral zunächst unbestimmt.
Es ist .
Forme umPolynomdivision führt auf:
Bestimme eine Stammfunktion von :
Zerlegung in zwei Integrale:
Wende für das zweite Integral eine Partialbruchzerlegung an:
Umformung: \cdot(x+2)\cdot (x+4)
Koeffizientenvergleich liefert:
und und
Dann erhält man die Stammfunktion:
Es ist
Siehe auch die violett markierte Fläche () in der folgenden Abbildung, die nur zur Veranschaulichung dient.
