Zwei Laplace-Würfel werden nacheinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme durch 3, 4 oder 5 teilbar ist.
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Berechne die Wahrscheinlichkeit durch die Formel des Laplace-Experiments.
Alle möglichen Augensummen sind 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Die durch 3, 4 oder 5 teilbaren Augensummen sind 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12.
Achtung Fehlerquelle?
Jetzt musst du aufpassen! Die Wahrscheinlichkeit die Augensumme 2 zu würfeln, ist unwahrscheinlicher als beispielsweise eine 8 zu würfeln, da man für eine 2 zwei Einser würfeln muss und es für eine 8 mehrere Möglichkeiten gibt (z.B. 2 Vierer oder eine 3 und eine 5). Daher kannst du nicht die Wahrscheinlichkeit über berechnen, sondern musst bestimmen, welche Ergebnisse insgesamt möglich sind und welche Augensumme diese ergeben.
Direkter Lösungsweg
Jetzt musst du nur noch alle Ergebnisse aufschreiben und bestimmen, wie viele davon die Augensumme 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 haben. Da die Würfel nacheinander geworfen werden, kann kannst du zwischen einem ersten oder zweiten Wurf entscheiden und die Ergebnisse als schreiben.
Mit E soll die Menge bezeichnet werden, deren Augensumme durch 3, 4 oder 5 teilbar sind.
Nun kannst du die Mächtigkeit der Menge aller günstigen Ergebnisse durch die Mächtigkeit der Menge aller Ergebnisse teilen.
Rechne nun noch in Prozent um.
zu 75 % ist die Augensumme durch 3, 4 oder 5 teilbar.
Weiterer Lösungsweg über das Gegenereignis
Du kannst die Rechnung auch abkürzen indem du mit dem Gegenereignis rechnest. Dies bietet sich immer an, wenn die Anzahl der günstigen Ergebnisse groß ist und das Gegenereignis nur wenige Elemente enthält.
Das Ereignis ist gleichbedeutend mit .
Das Gegenereignis lautet oder eben .
Da gilt, müssen wir nur noch berechnen.
Da wir oben schon berechnet haben, dass ist, ist und somit:
zu 75 % ist die Augensumme durch 3, 4 oder 5 teilbar.