Für die Bühnenbeleuchtung einer Theateraufführung an einer Beruflichen Oberschule wird ein Scheinwerfer (siehe Bild 1) installiert. Die Position des Scheinwerfers und der von ihm ausgeleuchtete Raum auf der Bühne wird modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem des beschrieben. Die --Ebene des Koordinatensystems wird durch den Bühnenboden festgelegt. Die rechteckige Glasfläche des Scheinwerfers hat die Ecken , , und .
Die Vollausleuchtung mit dem Scheinwerfer ohne Berücksichtigung des Halbschattens kann in guter Näherung durch den Körper (siehe Bild 2) beschrieben werden.
Die Punkte , und sind die Eckpunkte der ausgeleuchteten Fläche auf dem Bühnenboden.
Die Koordinaten sind Längenangaben in der Einheit Dezimeter ().
Auf die Mitführung von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden. Die Ergebnisse sind sinnvoll zu runden.
Die Gerade verläuft durch die Punkte und . Die Gerade verläuft durch die Punkte und . Die Geraden und g schneiden sich im Punkt . Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes . [ Ergebnis: ]
(6 BE)
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- Berechne die Geradengleichungen und .
- Löse die Gleichung .
Berechne die Koordinaten des Punktes
Aus Gleichung folgt:
Mit folgt in Gleichung :
Probe in Gleichung :
Setze z.B. in ein:
Die Koordinaten des Punktes sind .
Stellen Sie eine Gleichung der Lotgeraden zur Ebene , in der sich die Glasfläche befindet, durch den Punkt auf und bestimmen Sie den Abstand des Punktes zur Ebene .
[ Mögliches Teilergebnis: : , ]
(8 BE)
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Teil 1
- Benötigt wird der Normalenvektor der Ebene . Dieser ist der Richtungsvektor der Lotgeraden.
- Berechne den Normalenvektor der Ebenengleichung , der der Richtungsvektor der Lotgeraden ist.
Teil 2
- Gib die Gleichung von in der Normalenform an.
- Setze die Gleichung der Lotgeraden in ein, um den Lotfußpunkt zu erhalten.
- Der Abstand des Punktes zur Ebene ist der Betrag des Vektors .
Stelle eine Gleichung der Lotgeraden zur Ebene , in der sich die Glasfläche befindet, durch den Punkt auf
Benötigt wird der Normalenvektor der Ebene . Dieser ist der Richtungsvektor der Lotgeraden.
Für die Ebene in Parameterform gilt:
Berechne: und
Berechne den Normalenvektor der Ebenengleichung :
Der mit Faktor verkürzte Normalenvektor ist
Dieser Vektor ist der Richtungsvektor der Lotgeraden .
Die Gleichung der Lotgeraden zur Ebene , in der sich die Glasfläche befindet, durch den Punkt , lautet somit .
Anmerkung: Für liegt der Punkt auf der Geraden , sodass die Gleichung für auch so geschrieben werden kann:
Lotgerade
Bestimme den Abstand des Punktes zur Ebene
Gib die Gleichung von in der Normalenform an.
Setze in ein, um den Lotfußpunkt zu erhalten:
Berechne das Skalarprodukt:
Setze in die Gleichung der Lotgeraden ein:
Der Abstand des Punktes zur Ebene ist der Betrag des Vektors :
Der Abstand des Punktes zur Ebene beträgt rund .
Die Diagonalen des Vierecks schneiden sich im Punkt . (Nachweis nicht erforderlich). Zeigen Sie, dass der Punkt auf der Geraden liegt. Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels der Geraden mit der -- Koordinatenebene.
(4 BE)
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Teil 1
- Setze den Vektor in die Geradengleichung ein.
- Prüfe, ob alle drei Gleichungen für ein festes erfüllt sind.
Teil 2
- Für den Winkel zwischen der Geraden und der -Ebene, mit und als Richtungsvektor von gilt:
Zeige, dass der Punkt auf der Geraden liegt
Mit der in b) angegebenen Gleichung der Lotgeraden und dem Punkt folgt:
Aus Gleichung folgt:
eingesetzt in Gleichung folgt:
eingesetzt in Gleichung folgt:
Damit liegt der Punkt auf der Geraden .
Berechne die Größe des Schnittwinkels der Geraden mit der --Koordinatenebene
Winkel zwischen der Geraden und -Ebene
und
Für den Winkel gilt:
Die Größe des Schnittwinkels der Geraden mit der --Koordinatenebene beträgt rund .
Der Scheinwerfer besitzt einen Flügelbegrenzer (siehe Bild 3). Der einzustellende Winkel soll für den rechten Flügel berechnet werden. Vereinfachend soll angenommen werden, dass der rechte Flügel in der Ebene liegt, die durch die Punkte und festgelegt ist. Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels zwischen der Ebene und der Ebene .
Schließen Sie anschließend auf die Größe des einzustellenden Winkels zwischen der Glasfläche des Scheinwerfers und dem rechten Flügel des Flügelbegrenzers (siehe Bild 4).
(5 BE)
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Teil 1
- Die Ebene hat den Normalenvektor .
- Benötigt wird der Normalenvektor der Ebene .
- Für den Winkel gilt:
Teil 2
Berechne die Größe des Schnittwinkels zwischen der Ebene und der Ebene
Die Ebene hat den Normalenvektor
Benötigt wird der Normalenvektor der Ebene .
Für die Ebene in Parameterform gilt:
Aus Aufgabe b) ist bekannt.
Berechne und
Berechne den Normalenvektor der Ebenengleichung :
Winkel zwischen Ebene und Ebene :
Für den Winkel gilt:
Schließe anschließend auf die Größe des einzustellenden Winkels zwischen der Glasfläche des Scheinwerfers und dem rechten Flügel des Flügelbegrenzers
Die Größe des einzustellenden Winkels zwischen der Glasfläche des Scheinwerfers und dem rechten Flügel des Flügelbegrenzers beträgt .